23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.

О.: Гіпербола – множина точок площини, різниця відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою.

F₁(-c;0) F₂(c;0) c>0

|r₁-r₂|=const=2a

c>a

r₁=√((x+c)² +y²) ; r₂=√((x-c)² +y²)

|√((x+c)² +y² ) - √((x-c)² +y² )| =2a

x²/a² - y²/(c²-a²) = 1 ;c² - a²=b² ;

x²/a² - y²/b²=1 – канонічне рівняння гуперболи а,b –довжини півосей гіперболи

Властивості:

1. x²/a²>=1 точки гіп. розташовані в області |x|>=a В смузі |x|<a точок гіперболи нема

2. Г. Має 2 вісі симетрії Ох і Оу, центр симетрії – точка О

3. Г. має 2 вершини А₁(-а;0) А₂(а;0)

Точок перетину з віссю Оу не має. Оу – уявна вісь, Ох – дійсна вісь.

4. можна довести, що Г. Має 2 асимптоти у=(b/a)x і у= - (b/a)x

5. одночасно з розглянутою гіперболою вводять спряжену гіперболу, яка задається рівнянням x²/a² - y²/b²= -1

В₁=(0;-b) В₂=(0;b)

6. Ексцентриситет гіперболи – Е=с/а>1

Директриси: х=а/Е і х= - а/Е

Властивість директриси Г: r₁/d₁=r₂/d₂=E

Фокальні радіуси для правої частини Г: r₁=Ex+a r₂=Ex - a

лівої: r₁= - Ex + a r₂= - Ex – a.

24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.

О.: Парабола – множина точок площини рівновіддалених від заданої точки (фокуса) та заданої прямої (директриси).

Позначимо відстань від фокуса до директриси р.

F(p/2;0)

D: x=-p/2

M(x;y) – поточна точка

d=r ( d=відстань від точки М до директриси, r=відстань від М до фокуса)

p/2+x=√((x-p/2)² +y²)

(p/2+x)²=(x-p/2)²+y²

y²=2px –канонічне р-ня параболи, де р-параметр (р=відстань від фокуса до директриси)

Властивості

1. Парабола має вісь симетрії Ох та вершину. Парабола лежить правіше осі Оу.

2. E=r/d=1

3. Якщо парабола симетрична відносно Оу, то її рівняння x²=2py

25. Загальне рівняння кривої другого порядку.

Кривою другого порядку назив. множина точок площини, що задовольняють рівняння

З’ясуємо, що являє собою крива 2-го порядку геометрично. Для цього спочатку повернемо систему координат на кутпроти годинникової стрілки так, щоб у рівнянні зник добуток.

y M x^’ M(x,y)

y^’

x

0

Випишемо коефіцієнти при в рівнянні кривої

Якщо Якщо

Вважаємо, що поворот системи координат відбувся, тоді рівняння кривої матиме вигляд:

Розглянемо такі випадки:

1.Зробимо заміну змінних

а) одного знаку протилежного С, тоді ця крива еліпс.

б) протилежних знаків, тоді на виході крива гіпербола.

в) одного знаку уявна крива

г) різних знаків – дві прямі, що перетинаються

д) одного знаку – дійсна точка

2. Нехай

а) - парабола

б) - різних знаків, пара паралельних прямих

в) - одного знаку, пара уявних прямих

г) - пара прямих, що збігаються

26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.

Матрицею А розмірів (матрицею або порядку) назив. сукупність чисел (елементів матриці) розміщених у вигляді прямокутної таблиці, яка маєm-рядків і n-стовпців

Матриці А і В назив. рівними, якщо вони мають однакові розміри і їх відповідні елементи рівні

Види матриць

1) Матриця, всі елементи якої рівні нулю назив. нульовою .

2) матриця назив. квадратною порядку n, якщо m=n. В іншому випадку матриця назив. прямокутною.

3) Матриця, що складається з одного стовпця (рядка) назив. матрицею-стовпцем (матрицею-рядком). Ці матриці також назив векторами.

4) матриця розмірівназив. транспонованою до матриці А, розмірів, якщоодержується з А перетворенням стовпців у рядки з тим самим номером

5) Матриця А назив. симетричною(кососиметричною), якщо

Зауваження. Якщо , то

6) Діагональними елементами матриці А назив. його елементи , решта елементів назив.

поза діагональними. Квадратна матриця А назив. діагональною, якщо всі її поза діагональні елементи дорівнюють нулю.

А=

Якщо всі діагональні елементи рівні між собою, то така матриця назив. скалярною. Якщо у такої матриці всі діагональні елементи дорівнюють 1, вона назив. одиничною.

1

Е= 1 . або

1

7) Якщо всі елементи матриці розміщені нижче(вище) головної діагоналі дорівнюють 0, то така матриця назив. верхньою(нижньою) трикутною.

8) Квадратна матриця А назив. не виродженою (виродженою), якщо (det A=0)

Сумою матриць А і В однакових розмірів назив. матриця А+В тих же розмірів елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В.

- ij-ий елемент матриці А+В

Добутком матриці А на число назив. матрицятих самих розмірів, що і А, елементи якої є добутками відповідних елементів А на число

Властивості лінійних операцій над матрицями

1) 1 А=А 1=А 2) 0 А=А 0 = 0(нуль-матриця) 3)

4) А+В=В+А (комутативність) 5) А+(В+С)=(А+В)+С 6) (дистрибутивність)

7) 8) А+О=А 9)10)