27 Множення матриць

Добутком матриці А (розмірів m на k) на матрицю В (k на n) називається АВ розмірів m на n, елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів і-го рядка А і j-го стовпця В. {AB}_ij=∑^k_s=1a_is*b_sj (1)

Множення матриць можливе лише тоді, коли кількість стовбців А дорівнює кількості рядків В.

Властивості добутку матриць

1) α(АВ)=( αА)В=А(αВ)

2) (А+В)С=АС+ВС

3) А(В+С)=АВ+АС

4) (АВ)С=А(ВС)

5) (АВ)^т=В^тА^т

Доведення

Властивості 1-3 очевидні

{(AB)C}_ij A m*n, B p*k, C k*n

{(AB)C}_ij=∑^k_l=1 (∑^p_s=1a_isb_sl)c_lj

{(AB)C}_ij=∑^p_s=1a_is(∑^k_l=1b_sl c_lj)

Одержані суми відрізняються лише порядком доданків. Отже маємо рівність відповідних елементів

{(AB)^т}_ij={AB}_ij=∑^k_s=1a_jsb_si=∑^k_s=1{A^т}_sj{B^т}_is=∑^k_s=1{B^т}_is{A^т}_sj={B^т A^т }_ij

У загальному випадку АВ≠ВА навіть можливо, що ВА – не існує .

Введемо поняття лінійної комбінації стовбців і рядків А. Позначимо і-тий рядок А а_і.=(а_і1,a_i2,...,a_in) a._j=(a_1j,a_2j,...,a_mj)^т

Лінійною комбінацією рядків матриці А називається сума ∑^m_i=1α_ia_i. , де α_i – дійсні, і=1,m Лінійною комбінацією стовбців матриці А називається сума ∑ⁿ_j=1 β_ja._j , де β_j є R, j=1,n

Перепишемо формулу (1) у 2 випадках

{AB}._j=∑^k_s=1a._sb_sj (2)

{AB}_i.=∑^k_s=1a_isb_s. (3)

Формула (2) показує, що будь-який j-тий стовбець є лінійною комбінацією стовбців А при чому коефіцієнти утворюють j-тий стовбець В.

З (3) випливає, що і-тий рядок В є лінійною комбінацією рядків В. Коефіцієнти лінійної комбінації є елементами і-того рядка А. Отже, якщо треба працювати зі стовбцями (рядками) матриці то треба помножувати матрицю на відповідні матриці справа(зліва).

28 Елементарні перетворення матриць

Елементарними називаються такі перетворення:

1. множення рядка (стовпця) на число, що не дорівнює 0;

2. додавання до рядка(стовпця) іншого рядка (стовпця) , помноженого на довільне число

3. переставлення будь-яких рядків(стовпців)

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо кожна з них отримується з іншої за допомогою скінченої кількості елементарних перетворень. Якщо елементарні перетворення застосовуються до одиничної матриці Е то одержимо матрицю, яка є елементарною. Введемо позначення елементарних матриць:

Е_і(λ) – множення і-того рядка на число λ .

Е_ij(λ) – додавання і-того рядка j-того рядка, помноженого на λ.

Е_ij – переставлення і-того і j-того рядків Е.

З (3) випливає, що кожне елементарне перетворення з рядками В рівносильне множенню її зліва на відповідну елементарну матрицю.

З (2) випливає, що елементарні перетворення стовбців А рівносильні множенню її справа на елементарні матриці.

Е_і^т(λ)=Е_і(λ)

Е_ij^т=Е_ij

32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа

Комплексне число – z = a + ib, де i – уявна одиниця

z = a + ib - алгебраїчна форма комплексного числа

а – дійсна частина

b – уявна частина

Якщо b=0, то

Якщо а=0, то

Кожному комплексному числу відповідає пара дійсних чисел a,b. Навпаки кожній парі a,b відповідає комплексне число.

Компл. числа можна представляти, як точки компл. площини. При цьому ОХ – дійсна вісь, а ОУ – уявна вісь. В багатьох випадках компл. число зручно представляти, як радіус-вектор точки з координатами А,В.

аргумент компл. числа визначається з точністю до

Тригонометрична ф-ла: