4.3. Свойства случайных ошибок

Если одну и ту же величину, истинное значение хкоторой известно, многократно определить с равной точностью, то получимрядизмеренийl₁, l₂,… l_n. Каждое измерение будет иметь свою случайную ошибку Δ₁, Δ₂, … Δ_n, т. е.l₁- х = Δ₁; l₂- х = Δ₂; …; l_n- х = Δ_n.

Полученный ряд случайных ошибок обладает определенными статистическими свойствами:

1. Свойство симметричности, т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки встречаются в рядах результатов измерений одинаково часто.

2. Свойство унимодальности илисосредоточения, т. е. малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще чем большие.

3. Свойство ограниченности, т. е. абсолютное значение случайных ошибок результатов измерений не может быть больше некоторого известного предела (предельной погрешности) Δ_i Δ_пред. Величина предельной погрешности устанавливается инструментами.

4. Свойство компенсации, т. е. среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда измерений при неограниченном увеличении числа измерений, стремится к нулю, где Δ – случайные ошибки,n – количество измерений.

Если суммы обозначить квадратными скобками [ ] (символ сумм Гаусса), то можно записать .

Е

Рис. 4.1

сли на оси ординат (рис. 4.1) отложить величины случайных ошибок, а на оси абсцисс – число ошибок ряда измерений и через полу­ченные точки провести кривую линию, то по­лучимграфик распределения случайных оши­бок, который характеризует указанные свойства. Из графика случайных ошибок следует, чтобольшее число случайных ошибокрасполо­жено в пределах их значений от –1 до +1.

Приведем пример, подтверждающий свойства случайных ошибок. В результате 10-крат­ного измерения расстояния мерной лентой получили следующие случайные ошибки (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Измерения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ошибки, см	-1	+2	-1	+1	+2	-2	-3	+4	-1	+6

Из данного ряда результатов измерений можно отметить, что ошибок по абсолютному значению от 0 до 2 см – семь, от 3 до 4 см – две, свыше 4 см – одна. Среднее арифметическое из десяти ошибок равняется 0,7 см.

4.4. Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина

Если имеется ряд результатов равноточных измерений l₁; l₂; …; l_nодной и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю арифметическую величинуLиз всех результатов.

.

Если истинное значение измеряемой величины х, то абсолютные ошибки будут равны:

Δ₁= l₁- х;

Δ₂= l₂- х;

………;

Δ _n= l_n- х,

________

[Δ] = [l] – nx.

Из суммы равенств получим, что .

В соответствии со свойством 4 случайных ошибок, с увеличением числа измерений величина приn → ∞.

Следовательно, при бесконечно большом числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к истинному значению измеряемой величины х.

Величина при конечном числе измерений будетвероятнейшим значением определяемой величины, называемой арифметической серединой. Разность между результатом измерения и средним арифметическим называют уклонением от арифметической середины или вероятнейшими ошибками υ, т. е. l₁ - L = υ₁.

Сумма вероятнейших ошибок равняется нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.

В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в основном применяют среднюю квадратическую ошибкуиотносительную ошибку.

Среднюю квадратическую ошибку отдельного результата измерения mвычисляют по формулеГаусса:.

Формулу Гаусса можно использовать, когда известно истинное значе­ние измеренной величины, а для оценки точности величин, истинное значение которых неизвестно, применяется формула Бесселя , гдеυ – вероятнейшая ошибка.

Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М выражают через среднюю квадратическую ошибку mотдельного изме­рения, т. е. .

Таким образом, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, например, в 2 раза, количество измерений необходимо увеличить в 4 раза.

Применительно к конкретным условиям указывают критерий отбра­ковки результатов измерений. В качестве такого критерия служит пре­дельная ошибка. Для наиболее значимых измерений применяются повы­шенные требования к точности и величину предельной ошибки прини­мают равной 2m, т. е. Δ_пр.=2m(удвоенное значение средней квадратической ошибки. Для менее значимых измерений принимается величина предельной ошибки равная3m, т. е. Δ_пр.=3m(утроенное значение средней квадратической ошибки).

Пример, если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу2m» отбраковываются все результаты, значения которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу3m» отбраковываются – больше 15˝.

Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины абсолютной ошибки, необходимо еще знать значение самой измеряемой величины. Так, для получения представления о точности линейных, площадных и других измерений применяется относительная ошибка.

Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительную ошибку принято выражать простой дробью, числитель которой равен единице.

– для отдельного результата измерений

–для арифметической середины.

Значение знаменателя принято округлять до двух значимых цифр. Чем больше знаменатель, тем выше точность выполненных работ.

Рассмотрим пример. Измерены две линии: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0,17 м, другая – длиной 390 м со средней квадратической ошибкой0,23 м, т. е.L₁ = 220 м,m₁=0,17 м,L₂ = 390 м,m₂=0,23 м. Какая из линий измерена точнее?

Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим,что относительная ошибка в первом случае будет равна , а во втором –. Следовательно, вторая линия измерена точнее, несмотря на большую величину абсолютной ошибки.