2.3. Методы проецирования земной поверхности

Для составления топографических карт и планов точки земной поверхности проецируют на поверхность референц-эллипсоида или на плоскость. Проецирование на поверхность референц-эллипсоида выполняется вдоль отвесных линий. Четырехугольник аbcd, полученный проецированием на сферическую поверхность эллипсоида, называют горизонтальной проекцией четырехугольника ABCD местности (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

При проецировании небольших по площади участков местности, основную уровенную поверхность можно принимать за плоскость. В таком случае отвесные линии можно считать параллельными между собой и горизонтальная проекция практически преобразуется в ортогональную. Согласно рис. 2.5 отрезки ab, bc, cd,…являются ортогональными проекциями соответствующих линийAB, BC, CD,…, углыabc, bcd,…– ортогональными проекциями соответствующих угловABC, BCD,…, а плоский многоугольникabcd– ортогональной проекцией пространственного многоугольникаABCD. Положение точек и линий местностиАВ,ВС,… в ортогональной проекции определяется длинами горизонтальных проложенийab,bc,…и горизонтальными углами между ними.

Длина ортогональной проекции линии местности MNна горизон-тальную плоскостьpназываетсягоризонтальным проложением Sэтой линии (рис. 2.6) и вычисляется из прямоугольного треугольника MNC по формуле S=L×cos ν.

Угол νмежду линией местностиMNи ее ортогональной проекцией на горизонтальную плоскостьS=mn, измеряют непосредственно и называют углом наклона линии. Ортогональные проекции линий на плоскость приν ≠ 0 всегда меньше соответствующих им отрезков на физической поверхности Земли.

2.4. Размеры участков земной поверхности, принимаемые за плоскость

Рассмотрим, для каких по размерам участков местности можно применять ортогональное проецирование, т. е. при которых кривизна Земли может не учитываться в процессе создания карты или плана. На рис. 2.7 изображена часть поверхности Земли в виде дугиBCD радиуса R и ее проекция PQ на плоскость PCQ, где PC = CQ.

Д

Рис. 2.7

ля простоты рассуждений рассмотрим правую половину изображения проекции. Из рисунка видно, что с удалением от точкиСразница между длиной линии на сферической поверхностиCD = S₁ и ее проекцией на плоскостьCQ = S возрастает, а расстояниеODувеличивается на величинуDh, характеризующую изменение высоты точки местности. Проекция кривой уровенной поверхности СD нагоризонтальную плоскость CQ приводит к получению разностей ΔS =CQ  – CD и Δh = OQ – OD, которые возникают из-за влияния кривизны при проецировании сферы на плоскость.

Определим разность между длиной касательной S и длиной дуги S₁. Выразим угол a в радианах, тогда согласно рис. 2.7 получим, чтоS = R × tga,а S₁ = R×a.Откуда следует, что

DS = R(tga -a). (2.1)

Центральный угол a по своей величине незначителен. Поэтому при разложенииtga в убывающий ряд можно ограничиться вторым членом ряда и пренебречь последующими из-за их незначительности. Тогда. Подставим это значение в формулу 2.1. В результате получим, что

. (2.2)

Из формулы S₁=R×aполучим, чтои заменимaв форму­ле 2.2. Окончательно найдем, что

. (2.3)

Из рис. 2.7 видно, что точка Dнаходится на уровенной поверхности и ее высота равна нулю. Определим величину отрезка, характеризующего отклонение точкиQ от уровенной поверхности. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольникOCQ, откуда (R + h)²=S²+R². Упростив данное равенство, имеем . Ввиду малого значенияh в сравнении с 2R окончательно получим, что

. (2.4)

Сравнивая формулы 2.3 и 2.4 видно, что значение h существенно больше DS. Если условно принять радиус Земли постоянным, то можно вычислить расхождения DS между длинами дуг на уровенной поверхности и их проекциями на плоскость, а также отклонения высот точек h от их положения на поверхности сферы из-за кривизны Земли (табл. 2.2).

Таблица 2.2

S  , км	DS ,м	h, м
1	0,00	0,08
5	0,00	1,96
10	0,01	7,85
20	0,07	31,39
50	1,02	196,20

Значение величины DSвозрастает незначительно. При дуге 11 кмDSсоставляет лишь 1:1 000 000 ее длины. Относительная погрешность измерениярасстояний современными приборами составляет порядка1:1 000 000. Поэтому принято считать, что участок радиусом 11 км можно принимать за плоскость, а при определении превышений между точками местности необходимо вводить поправкуh.