3.2. Проекции топографических карт. Зональная система плоских прямоугольных координат

На выбор картографических проекций влияют многие факторы. Для топографических карт важнейшим требованием является минимальность искажений, и в первую очередь, линейных, то есть сохранение масштаба длин по всей карте. Поскольку топографические карты широко используются для определения ориентирующих углов, то необходимым условием является сохранение по всей карте равноугольного изображения. Для уменьшения линейных искажений земной эллипсоид делится на части – геодезические зоны, которые образованы меридианами через 6º по долготе, начиная от Гринвичского. Число зон составляет 60 и нумерация их ведется к востоку.

На территории Республики Беларусь и других стран СНГ все топографические карты составляются в равноугольной проекции Гаусса-Крюгера. Немецкий ученый К. Ф. Гаусс в 1825–1830 гг. для обработки Ганноверской триангуляции применил разработанную им равноугольную проекцию. Детальный вывод рабочих формул этой проекции в 1912 г. выполнил немецкий геодезист Л. И. Крюгер. Поэтому она получила название Гаусса-Крюгера и ее вычисляют аналитически.

С методической точки зрения получение этой проекции можно условно представить следующим образом. Для этого поместим земной шар в цилиндр так, чтобы ось вращения его была перпендикулярна оси цилиндра РР₁, а линия касания являлась меридианомNOS(рис. 3.1), который примем за осевой (средний) меридиан геодезической зоны. Он изобразится на цилиндрической поверхности в виде прямой без изменения длины. Остальная поверхность геодезической зоны (например, NFSD) проецируется на поверхность цилиндра так, чтобы каждая бесконечно малая фигура, например, окружность, сохранила свою форму, изменяя только радиус.

Рис. 3.1

В проекции Гаусса–Крюгера картографическая сетка по изображению меридианов и параллелей подобна картографической сетке поперечно-цилиндрической проекции: осевой меридиан и экватор являются прямыми, другие меридианы и параллели – кривыми линиями, пересекающимися под прямым углом.

Масштаб в проекции Гаусса–Крюгера сохраняется по осевому меридиану геодезической зоны. По мере удаления от него длины линий искажаются в сторону увеличения. Поправки Δ Sможно вычислить по приблизительной формуле

, (3.1)

где dиS– соответственно длины линий на плоскости и сфероиде;

Y_m – средняя ордината линии; R_m – средний радиус кривизны сфероида.

Относительное искажение длин линий будет определяться по формуле: f_s =и достигнет для средних широт на краю геодезической зоны значенияf_s.

Каждая из 60 зон изображается на плоскости независимо от остальных зон  и имеет самостоятельную систему  прямоугольных координат. Начало координат находится в точке пересечения экватора с осевым меридианом зоны. Положение точки на плоскости определяется плоскими прямоугольными координатами ХиУ.

В каждой зоне координаты Х и У могут иметь положительные и отрицательные значения. Положительное значение имеют абсциссы, располагающиеся к северу от экватора, а отрицательное – к югу от экватора. Ординаты (в каждой зоне), отсчитываемые от осевого меридиана к востоку являются положительными, а к западу – отрицательными. В данной системе координат абсциссы всех точек расположенных на территории Республики Беларусь в каждой зоне имеют положительные значения. Во избежание отрицательного значения ординат и для удобства их вычисления, к началу ординат каждой геодезической зоны добавляют 500 км, т. е. начало координат будет: Х₀ = 0; У₀ = 500 км. Тогда ординаты, расположенные к западу от осевого меридиана будут иметь значения меньше 500 км, а расположенные к востоку – значения больше 500 км. Такие ординаты называются преобразованными. Чтобы определить в какой зоне находится данная точка, впереди преобразованной ординаты указывается номер зоны.

 

Рис. 3.2

Например, согласно рис. 3.2 точка 2 имеет орди­натуу₂= 4689 км. Следовательно, она расположена в четвертой зоне на расстоянии 189 км к востоку от осевого меридиана зоны (689–500 = 189). Точка 1 имеет ординатуу₁= 4311 км и находится в этой же зоне на расстоянии 189 км к западу от осевого меридиана зоны (311–500 = –189). Вычисленные плоские прямоугольные координаты в проекции Гаусса-Крюгера для эллипсоида Красовского получили название «Система координат 1942 года» или СК–42.