4.5. Оценка точности результатов неравноточных измерений

При неравноточных измерениях нельзя принимать в обработку среднее арифметическое из результата ряда наблюдений, т. к. необходимо учитывать достоверность каждого результата. Более точные измерения должны оказывать большее влияние на окончательный результат.

Для обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие о математическом весе измерения. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем точнее результат измерений, тем больше его вес. Точность результата измерения характеризуется его средней квадратической ошибкой. Следовательно, чем меньше средняя квадратическая ошибка результата измерения и чем больше его вес, тем надежнее результат.

Таким образом, весрезультата измеренияр – это величина обратно пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки, характеризующей результат данного измерения.

Если ряд неравноточных измерений l₁; l₂; …; l_n, а их средние квадратические ошибки имеют значенияm₁; m₂; …; m_n,то соответствующие им веса, будутгдес– некоторая постоянная величина, число произвольное, но одно и тоже при определении значений всех весов.

Обозначим вес среднего арифметического, полученного из nизмеренийР, а вес одного измерения –p, тогда

Следовательно, вес арифметической середины в n раз больше веса каждого отдельного результата измерения.

Пусть некоторая величина Х измеренаnраз в различных условиях. При этом получены результатыl₁с весомp₁,l₂с весомp₂, и т. д. соответственно. Тогда наиболее вероятным значением будетсреднее весовоеилиобщее арифметическое среднее(общая арифметическая середина), вычисляемое по формуле.

Общей арифметической серединой или весовым среднимнеравноточных измерений называется сумма произведений результата каждого измерения на его вес, разделенная на сумму весов.

Истинные значения измеряемых величин, как правило, неизвестны, поэтому при оценке точности результатов неравноточных измерений используют вероятнейшие ошибки.

Средняя квадратическая ошибка единицы весаµопределяется по формуле, гдеυ – вероятнейшая ошибка (уклонение от общей арифметической середины) υ = l – L₀;n– число измерений.

Средняя квадратическая ошибка весового среднего илиобщей арифметической среднейМ₀вычисляется по формуле , гдеР– сумма весов.

5. Измерения углов

Угловые измерения являются одним из основных элементов при выполнении геодезических работ. При создании плановых геодезических сетей и производстве топографических съемок выполняются измерения горизонтальных и вертикальных углов.

Рассмотрим рис. 5.1. Пусть АВСугол на местности, стороны которого не лежат в горизонтальной плоскости. Горизонтальной проекцией этого угла будет уголаВс, полученный проецированием сторонВА и ВСна горизонтальную плоскостьР. Следовательно, горизонтальный уголаВс– линейный угол, являющийся мерой двугранного угла, образованного вертикальными плоскостямиаВВ^´А´исВВ´С´, проходящими соответственно через стороныВА и ВС данного угла. Мерой того же двугранного угла будет являться любой другой линейный угола´в´с´, вершина которого находится на ребреВВ´ двугранного угла, а стороны в горизонтальной плоскости. Поэтому горизонтальный уголАВСможно измерить с помощью круга, разделенного на градусы и доли градуса, плоскость которого горизонтальна, а центр совмещен с ребромВВ´двугранного угла и находится на некоторой удобной для наблюдения высоте в´относительно точкиВ. Если деления на круге оцифрованы по ходу часовой стрелки, то угол АВСможно определить как разность отсчетов по кругу, т.е.а´ - с´. Такой круг в геодезии называетсялимбом.

Рис. 5.1.

Для того, чтобы отметить на лимбе отсчеты а´ и с´, необходимо иметь вертикальную плоскость, вращающуюся в центре лимба вокруг вертикальной осиВВ´. Такая плоскость называетсявизирной плоскостью.

Изложенный принцип измерения горизонтального угла положен в основу устройства угломерного прибора, называемого теодолитом.

В топографии измеряют углы наклона ν, которые представляют собой вертикальный угол между горизонтальной плоскостью и направлением на наблюдаемую точку.