1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойста.

Ф-я F(x) называется первообразной для ф-ии f(x) на интервале (a,b) конечном или бесконечном если F(x) диф-ма _{в каждой точке это интервала и F ’ (x) = f(x).}

Если F(x) – первообразная для ф-ии f(x), то и Ф(х) = F(x)+C так же является первообразной для ф-ии f(x) (где С - const).

Ф’(x) = ( F(x)+C)’ = F’(x) = f(x).

Если функция f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Совокупность всех первообразных для ф-ии F(x)+C для f(x) //на интервале (a,b)// называется неопределенным интегралом и записывается:

Основные сво-ва неопределенного интеграла.

1. Диф-ал от неопределенного интеграла равен подъинтегральному выражению.

()’ = f (x);

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен равен этой ф-ие плюс const:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2-х ф-ий равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

5. Инвариантность:

_{при том, что .}

2. Интегрирование заменой переменной.

Пусть требуется найти интеграл от бесконечной ф-ии f(x). Положим что x = φ(t), где φ(t) имеет непрерывную производную и обратную ф-ию t = ψ(x).

Тогда справедливо равенство:

f(φ(t)) = φ’(t)

Найдем производную левой и правой части:

f(φ(t)) = f(x);

φ’(t) = (φ’(t))’_x = (* φ’(t) * )’_t * t’_x = = f(x).

Из этого следует что формула справедлива.

3. Определение рациональной функции. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Простейшей рациональной функцией называется многочлен вида:

Q_n(x) = a₀ + a₁x­­­­­¹ + … + a_nx^m;

Рациональной ф-ей f(x) или рац. дробью f(x) = (1)

Называют ф-ю такого вида, где Pm(x) и Qn(x) многочлены не имеющие общих множетелей.

Простейшими дробями называется рациональные дроби следующих четырех типов:

1. 2) A/(x-A)^x 3)Mx+N/x²+px+q 4) Mx+N/( x²+px+q)^x

Теорема: Правильная рациональная дробь (1) с действительными коэффициентами, знаменатель которой

Q_n(x) = (x-a)^α(x-b)^β … (x²+p₃x+q₃)^μ3

Раскладывается единственным образом на сумму простейших дробей по правилу:

4. Интегрирование простейших дробей первого и второго типов.

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типов:

1. ;

(x - a)’ dx = d(x - a) = dx

2. ;

5. Интегрирование дробей вида и .

6. Интегрирование иррациональных функций вида

R(u₁,…,u_n) =

Допустим, что в свою очередь переменные u₁, …, u_n – сами являются функциями: u_1­ = f₁(x), …, u_n­ = f_n(x). Тогда ф-я R(f₁(x),…, f_n(x)) называется рациональной ф-ей от функций f₁(x),…, f_n(x).

Рассмотрим случай, когда интегрирование иррациональных ф-й можно свести с помощью некоторой подстановки к интегралу рациональных ф-й. ; m>=2; ad – bc ≠ 0; t = ; t^m = ;

cx * t^m + d * t^m = ax + b;

x(c * t^m – a) = b - d t^m;

x = ;

dx =

Затем подставляем в начало.