- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойста.
- •Интегрирование заменой переменной.
- •Определение рациональной функции. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого и второго типов.
- •Интегрирование дробей вида и .
- •Интегрирование иррациональных функций вида
- •Интегрирование иррациональных функций. Первая подстановка Эйлера.
- •Интегрирование иррациональных функций. Вторая подстановка Эйлера.
- •Определенный интеграл. Определение. Физический и геометрический смысл.
- •Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •Производная интеграла с переменным верхним пределом.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы первого рода. Теоремы о сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Теоремы сравнения.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы второго рода. Теоремы о сходимости.
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •27. Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •28. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •29. Необходимые условия дифференцируемости функции. Достаточное условие.
- •30. Полные дифференциалы. Частные дифференциалы.
- •31. Производные сложных функций.(правильное)
- •32. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции.
- •33. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •34. Производные высших порядков.
- •35. Дифференциалы высших порядков.
- •37. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования экстремума.
- •38. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
- •39. Условный экстремум.
- •40. Производная поля по направлению. Градиент функции.
- •41. Двойной интеграл. Определение и основные свойства.
- •42. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника).
- •43. Сведение двойного интеграла к повторному (случай произвольной области).
- •46. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •47. Тройной интеграл. Свойства тройных интегралов.
- •48. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
- •49. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
- •50. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
- •51. Криволинейные интегралы первого рода. Определение. Свойства. Вычисления.
- •52. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисления.
- •53. Формула Грина.
- •54. Поток вектора через поверхность. Его свойства.
- •55. Поток вектора через незамкнутую поверхность
- •56. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гауса-Остроградского.
- •57. Дивергенция векторного поля.
- •58. Циркуляция векторного поля. Ротор вектора.
-
Интегрирование иррациональных функций. Первая подстановка Эйлера.
R(u1,…,un) =
Допустим, что в свою очередь переменные u1, …, un – сами являются функциями: u1 = f1(x), …, un = fn(x). Тогда ф-я R(f1(x),…, fn(x)) называется рациональной ф-ей от функций f1(x),…, fn(x).
Рассмотрим случай, когда интегрирование иррациональных ф-й можно свести с помощью некоторой подстановки к интегралу рациональных ф-й.
Этот интеграл сводится к интегрированию от рациональных
ф-й другой переменной следующей подстановкой:
1-я подстановка Эйлера а>0
- Будет одинаково
Затем подставляем под интеграл.
-
Интегрирование иррациональных функций. Вторая подстановка Эйлера.
R(u1,…,un) =
Допустим, что в свою очередь переменные u1, …, un – сами являются функциями: u1 = f1(x), …, un = fn(x). Тогда ф-я R(f1(x),…, fn(x)) называется рациональной ф-ей от функций f1(x),…, fn(x).
Рассмотрим случай, когда интегрирование иррациональных ф-й можно свести с помощью некоторой подстановки к интегралу рациональных ф-й.
Этот интеграл сводится к интегрированию от рациональных
ф-й другой переменной следующей подстановкой:
2-я подстановка Эйлера
Пусть имеет различные действительные корни x1 и x2. В этом случае применяют 2-ю подстановку Эйлера:
=
-
Определенный интеграл. Определение. Физический и геометрический смысл.
Пусть ф-я f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем его на n-частей и составим интегральные суммы.
Число I называется пределом интегральных сумм:
ф-ии f(x) на отрезке [a,b], если для любого ε > 0 существует δ>0, что для любого разбиения отрезка [a,b] на части с длинами < δ, неравенство:
выполняются при любом выборе точек .
Если при любом разбиении отрезка [a,b] на части и при любом выборе точек на их интегральные суммы имеют один и тот же конечный предел, то этот предел называется определенным интегралом и обозначается:
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Физический смысл определенного интеграла: пусть материальная точка M движется вдоль числовой оси со скоростью V(t), Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от до равен определенному интегралу от скорости:
-
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
1)
2)
3)
равенства 2 и 3 в совокупности называются свойством линейности;
4)
5)
6) значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
7) свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула:
8) если при то
9) если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b], то верна оценка
10)
11) если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка такая, что
12) если f (x) – нечетная функция, то
13) если f (x) – четная функция, то
14) если f (x) – периодическая функция периода T, то при любом верно равенство
Теорема о среднем(без доказательства!!!):
Пусть ф-я f(x) неопр. На [a,b] тогда на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка такая что имеет место равенство: