29. Необходимые условия дифференцируемости функции. Достаточное условие.
Необходимые условия:
Теорема 1: если
функция
дифференцируема в точке, то она в этой
точке непрерывна.
Теорема 2: если
функция
дифференцируема в точке (x,y),
то в этой точке она имеет частные
производные:
Достаточное
условие: если функция
имеет частные производные в некоторой
окрестности точки и если производные
непрерывны в самой точке, то в этой точке
функция дифференцируема.
30. Полные дифференциалы. Частные дифференциалы.
Полный дифференциал:
;
;
;
;
;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. ΔyZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).
Дифференциалы
независимых переменных х и у просто
равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy.
Частные дифференциалы обозначаются
так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ -
частный дифференциал по у. При этом:
//31. Производные сложных функций.
Если
и
– дифференцируемые функции
своих аргументов, то производная сложной
функции
вычисляется по формуле
(11.8)
Обобщенная таблица производных
где
в частности:
где
в частности,
где
в частности,
Если для функции
y = f(x)
существует обратная функция x = (y),
которая имеет производную
то верна формула
31. Производные сложных функций.(правильное)
32. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции.
Допустим, что
функция
задана неявно уравнением
(18.12)
и требуется найти
1-й способ. Если
практически возможно, из (18.12) выражают
явно
через
и дифференцируют.
2-й способ.
Дифференцируют уравнение (18.12), считая
и выражают затем
3-й способ. Используют формулу
(18.13)
если
Способы 1–2 были рассмотрены в теории дифференцирования функции одной переменной и не всегда являются рациональными.
Производные неявной
функции
порядка выше первого находят
последовательным дифференцированием
формулы (18.13), учитывая, что y
– функция от x.
Для нахождения
частных производных функции
заданной неявно уравнением
(18.14)
используют формулы
(18.15)
при условии, что
эти производные существуют и
33. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть поверхность задана уравнением
Тогда уравнение
касательной плоскости
в точке
имеет вид:
(18.16)
где
Нормалью
к поверхности в точке
называется прямая, проходящая через
точку
перпендикулярно к касательной плоскости
в этой точке.
Уравнение
нормали
к поверхности (18.16) в точке
имеет вид:
(18.17)
Если поверхность задана уравнением
(18.18)
и в точке
этой поверхности существуют частные
производные
не равные нулю одновременно, то уравнение
касательной плоскости к поверхности
(18.18) в точке
имеет вид:
(18.19)
Уравнение нормали
к поверхности (18.18) в точке
имеет вид:
(18.20)