22. Абсолютно сходящиеся интегралы первого рода. Теоремы о сходимости.

Пусть ф-я f(x) определена для всех x>=a, и интегрируема на [a,b].

Несобственный наз. абсолютно сходящимся, если сходится

Если (1) сходится, а (2) расходится, то (1) условно сходящийся.

Если (2) сходится, то сходится (1)

Теорема:

Если существует , что для любого достаточно большого x ф-я f(x) удовлетворяет условию: , то (1) сходится абсолютно.

23. Несобственные интегралы второго рода. Теоремы сравнения.

Пусть ф-я f(x) интегрируема на [a, b-] при сколь угодно малом , но неограничена в интервале (b-. Определим, что мы будем понимать под символом:

Рассмотрим ф-ю I() =

Если при ф-я I() имеет конечный предел, то несобственный интеграл сходится и по определению он равен:

Аналогично если ф-я f(x) неограниченна только в интервале несобственный интеграл 2-го рода определяется так:

Теоремы сравнения:

1. Пусть f(x) и интегрируемы на [a,b-] и для них выполняется условие , x. Тогда:

1. Если сходится

2. Если расходится =>

2. Пусть положительные на [a,b] ф-и f(x) и – терпят разрыв в т. b, тогда:

сходятся или расходятся одновременно.

24. Абсолютно сходящиеся интегралы второго рода. Теоремы о сходимости.

называется Абсолютно сходящимся если сходится /

Теорема: Если сходится (2), то сх. (1).

Теорема:

Пусть f(x) неограниченна только в (b-. Если для всех x, близких и < b

То

Главное значение интеграла 2-го рода.

Говорят, что несобственный в смысле главного значения, если

25. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.

26. Непрерывность функции нескольких переменных

27. Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Частной производной по переменной х функции в точке называется предел

(18.1)

если он существует.

Производную (18.1) обозначают также

Если частные производные определены на множестве и то они являются функциями двух переменных

Для функции трех переменных в случае их существования, аналогично определяют три частные производные

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке

по координате xk равна производной по направлению где единица стоит на k-ом месте.

28. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Согласно общему определению функция двух переменных x,y является дифференцируемой в точке (x0,y0) своей области определения M, если существуют такие константы a,b и c, что для любой точки (x,y) области M верно

при этом число a неизбежно равно значению функции в точке (x0,y0), а числа b и c являются частными производными функции в той же точке, то есть

При этом всякая дифференцируемая в точке (x0,y0) функция имеет в этой точке обе частные производные, но не всякая функция, имеющая обе частные производные является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. Напр., функция

которая имеет в точке O = (0,0) обе частные производные, но не является в этой точке непрерывной. В самом деле,

и если {an} — бесконечно малая последовательность, то

поэтому предел

не существует.

График функции y = f(x,y) представляет собой поверхность в пространстве Oxyz, а график линейной функции доставляет касательную плоскость к этой поверхности, проведенную в точке (x0,y0).

//Функция дифференцируема, если полное приращение можно представить вот так:

Где A и B не зависят от .