34. Производные высших порядков.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка:

(18.21)

(18.22)

(18.23)

(18.24)

Частные производные (18.21–18.24) обозначают также (соответственно)

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и высших порядков.

В частности,

Подобным образом определяются производные высшего порядка функции трех и более переменных.

Частная производная второго порядка и выше, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования, например,

35. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал второго порядка функции определяется формулой

(18.25)

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков.

Справедлива формула

(18.26)

Если функция имеет непрерывные частные производные, и переменные х и у являются независимыми, то дифференциалы второго и третьего порядков вычисляются по формулам:

(18.27)

(18.28)

Для всякого формула вычисления дифференциала порядка по форме записи аналогична формуле бинома Ньютона:

(18.29)

!!!36. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

u=f(M), k+1-раз. дифференцируема в определённой т. М₀€[М]

└→(R_k+1(N))

N отрезку М₀М, u=f(M), k-1 раз дифференцируема в окрестности k раз дифференцируема в т. М₀.

;

37. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования экстремума.

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки М₀, что для всех точек из этой окрестности (отличных от М₀) выполняется неравенство

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами (локальными), а точка М₀, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

(18.34)

Точки, в которых частные производные существуют и равны нулю, называются стационарными.

Точки из области определения функции, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

38. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки М₀, что для всех точек из этой окрестности (отличных от М₀) выполняется неравенство

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами (локальными), а точка М₀, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть – стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой функции Обозначим:

Тогда:

1) если то функция имеет в точке М₀ локальный экстремум (максимум при и минимум при );

2) если то в точке М₀ функция не имеет экстремума;

3) если то в точке М₀ функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные исследования).

Допустим, что функция f(x; y) определена на некотором множестве

Число С называют наибольшим значением функции (глобальный максимум) на множестве D, если

записывают так:

Число с называют наименьшим значением функции (глобальным минимумом) на множестве D, если

записывают так: