50. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Если область интегрирования при вычислении тройного интеграла представляет собой тело, ограниченное сферой или некоторой ее частью, целесообразно перейти к сферическим координатам.

Формулы перехода от декартовых координат x, y и z к сферическим координатам r, и исходя из приведенного чертежа, имеют вид:

(25.5)

где (или),

Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе к сферическим координатам имеет вид:

(25.6)

где – область в сферической системе координат, соот­ветствующая области V в декартовой системе координат;

f(x; y; z) – функция, непрерывная в этой области.

51. Криволинейные интегралы первого рода. Определение. Свойства. Вычисления.

Пусть на плоскости xOy задана гладкая незамкнутая кривая L с началом в точке A и концом в точке B, не имеющая самопересечений. Допустим, что на этой кривой определена непрерывная функция Разобьем указанную кривую L произвольным образом на элементарные дуги длины которых будем считать соответственно равными На каждой из элементарных дуг выберем произвольную точку Обозначим через и составим интегральную сумму

Устремим так, чтобы Если существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f(x; y) вдоль кривой L:

dl называют дифференциалом длины дуги, а саму кривую L – линией интегрирования. При этом говорят, что функция f(x; y) интегрируема по кривой L.

Если L – гладкая кривая в трехмерном пространстве без самопересечений, а f(x; y; z) – непрерывная функция в точках этой кривой, то криволинейный интеграл 1-го рода по этой кривой определяется равенством

в случае существования предела и при аналогичных плоской кривой условиях.

Если кривая L представляет собой замкнутый контур (т. е. начало кривой и ее конец совпадают), используют специальное обозначение: Достаточное условие интегрируемости функции: если функция определена и непрерывна в точках гладкой, не имеющей самопересечений, кривой, то она интегрируема по этой кривой.

Если функции f(x; y), f₁(x; y) и f₂(x; y) интегрируемы по гладкой кривой L, то справедливы следующие свойства:

1) линейность:

где

2) аддитивность: если гладкая или кусочно-гладкая кривая L состоит из конечного числа гладких дуг то

3) независимость от направления пути интегрирования: если кривая L соединяет точки A и B, то

4) оценка модуля интеграла:

52. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисления.

Пусть на плоскости xOy задана гладкая незамкнутая кривая L, и на этой кривой определена вектор-функция

где P(x; y) и Q(x; y) – непрерывные функции.

Разобьем указанную кривую L произвольным образом на элементарные дуги На каждой из элементарных дуг выберем произвольную точку

Составим произведение значения функции на длину проекции дуги на ось Ox и произведение значения функции на длину проекции дуги на ось Oy. Запишем предельную сумму:

Обозначим через а через Устремим так, чтобы и Если существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по координатам x и y:

Если L – гладкая кривая в трехмерном пространстве, а – вектор-функция, заданная на L, причем P(x; y; z), Q(x; y; z) и R(x; y; z) – непрерывные функции в точках этой кривой, то в случае существования предела и при аналогичных плоской кривой условиях криволинейный интеграл 2-го рода по координатам x, y и z определяется равенством:

где в правой части формулы и

Если кривая L представляет собой замкнутый контур (т. е. начало кривой и ее конец совпадают), вводят понятие положительного и отрицательного направлений обхода контура. Положительным направлением обхода контура называется такое направление, при котором линия интегрирования обходится против хода часовой стрелки. Противоположное ему направление обхода контура называется отрицательным. При этом считают, что при положительном направлении обхода контура L.