- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойста.
- •Интегрирование заменой переменной.
- •Определение рациональной функции. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого и второго типов.
- •Интегрирование дробей вида и .
- •Интегрирование иррациональных функций вида
- •Интегрирование иррациональных функций. Первая подстановка Эйлера.
- •Интегрирование иррациональных функций. Вторая подстановка Эйлера.
- •Определенный интеграл. Определение. Физический и геометрический смысл.
- •Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •Производная интеграла с переменным верхним пределом.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы первого рода. Теоремы о сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Теоремы сравнения.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы второго рода. Теоремы о сходимости.
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •27. Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •28. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
- •29. Необходимые условия дифференцируемости функции. Достаточное условие.
- •30. Полные дифференциалы. Частные дифференциалы.
- •31. Производные сложных функций.(правильное)
- •32. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции.
- •33. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •34. Производные высших порядков.
- •35. Дифференциалы высших порядков.
- •37. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования экстремума.
- •38. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
- •39. Условный экстремум.
- •40. Производная поля по направлению. Градиент функции.
- •41. Двойной интеграл. Определение и основные свойства.
- •42. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника).
- •43. Сведение двойного интеграла к повторному (случай произвольной области).
- •46. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •47. Тройной интеграл. Свойства тройных интегралов.
- •48. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
- •49. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
- •50. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
- •51. Криволинейные интегралы первого рода. Определение. Свойства. Вычисления.
- •52. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисления.
- •53. Формула Грина.
- •54. Поток вектора через поверхность. Его свойства.
- •55. Поток вектора через незамкнутую поверхность
- •56. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гауса-Остроградского.
- •57. Дивергенция векторного поля.
- •58. Циркуляция векторного поля. Ротор вектора.
53. Формула Грина.
Формула Грина: если функции P(x; y) и Q(x; y) непрерывно дифференцируемы в замкнутой ограниченной области D, то имеет место формула Грина:
(26.10)
где L – граница области D, интегрирование вдоль которой производится в положительном направлении (рис. 26.2).
54. Поток вектора через поверхность. Его свойства.
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности S. По определению
Где векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), n - единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы n- было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), dS — элемент поверхности.
В трёхмерном случае
а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда, особенно в физике, применяется обозначение
тогда поток записывается в виде
55. Поток вектора через незамкнутую поверхность
56. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гауса-Остроградского.
Фо́рмула Острогра́дского — формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём. то есть интеграл от дивергенции векторного поля , распространённый по некоторому объёму T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём. Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.
В работе Остроградского формула записана в следующем виде:v где ω и s — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи ω = dΩ — элемент объёма, s = dS — элемент поверхности.
функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.
Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.Фо́рмула Острогра́дского — формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:
57. Дивергенция векторного поля.
дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю F oбозначают как div F
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).