46. Двойной интеграл в полярных координатах.

Если область интегрирования представляет собой круг или его часть, для упрощения производимых вычислений переходят к полярным координатам. Формулы перехода от декартовых координат x и y к полярным координатам и имеют вид:

(24.4)

Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам имеет вид:

(24.5)

где  – область в полярной системе координат, соответст­вующая области D в декартовой системе координат;

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах также переходят к повторному интегралу. При этом используют понятие области, правильной в полярной системе.

Область D называют правильной в полярной системе, если всякий луч, выходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает только одну (только один раз) «линию входа» и только одну (только один раз) «линию выхода».

В случае правильной области (рис. 24.12) верна формула

(24.6)

Рис. 24.12

Если область интегрирования D ограничена эллипсом или его частью, обосновано применение обобщенных полярных координат, переход к которым осуществляется по формулам:

(24.7)

Тогда

(24.8)

где  – область в обобщенной полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Далее переходят к повторному интегралу.

47. Тройной интеграл. Свойства тройных интегралов.

Пусть в замкнутой ограниченной пространственной области V, расположенной в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz, определена непрерывная функция Разобьем указанную область произвольным образом на элементарные области объемы которых будем считать соответственно равными Внутри каждой элементарной области выберем произвольную точку

Диаметром области будем называть наибольшее из расстояний между любыми двумя точками границы области. Обозначим через диаметры элементарных областей а через  – максимальный диаметр, т. е. Составим интегральную сумму функции f(x; y; z) в области V:

Устремим так, чтобы Если существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области V на частичные области ни от выбора точек внутри каждой из этих областей, то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по области V:

При этом говорят, что функция f(x; y; z) интегрируема в области V; x, y и z называют переменными интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции: если определенная в некоторой ограниченной замкнутой области функция непрерывна, то она интегрируема в этой области.

Если функции f(x; y; z), f₁(x; y; z) и f₂(x; y; z) интегрируемы в области V, то имеют место следующие свойства:

1) линейность:

где

2) аддитивность:

где и – области, не имеющие общих внутренних точек;

3) если выполняется неравенство то

4) оценка модуля интеграла:

5) если то

где v – объем области V.