21. § 8. Природа числа: все или ничто?

Действительно. Как только мы начинаем анализировать процедуру сложения, обнаруживается, что результат — это вовсе не врожденная истина, но продукт какого-то очень сложного интеллектуального построения. По существу уже здесь мы сталкиваемся с примером восхождения к самым высоким уровням абстракций. Ведь любые формы классификации явлений окружающего мира, которые тяготеют к условному основанию пирамиды видов, родов классов, рано или поздно обнаруживают нарушающий строгость построений логический изъян, и этот изъян заставляет нас восходить на следующую ступень абстракций. Мы уже видели: для того, чтобы сложить лошадей и коров, нужно было взойти на уровень каких-то родовых понятий; для того, чтобы сложить домашний скот с пароходами, страховыми конторами или египетскими пирамидами,— на еще более высокую ступень, обобщающую памятники материальной культуры всей нашей цивилизации; чтобы прибавить к ним еще и фортепианные концерты Моцарта, — на следующую вершину, которая объединяет в себе продукты человеческого творчества вообще… И так далее до самого предела.

«Точные» науки отвлекаются от всего видового. Так, теоретическая физика абстрагируется от всего, что характеризует реальные единичные вещи, даже целые их роды и классы. Математика воспаряет и над ее предметом, и здесь, на самой вершине, проявляется единство математического уравнения с предельным логическим обобщением. Но неизбежен вопрос: где вершина? Что скрывает тот высший уровень обобщений, который уже не может содержать в себе никаких логических изъянов, где решительно ничто не способно поставить под сомнение всеобщность и абсолютность результата сложения?

Думается, ответ способен найти каждый, кто уже прошел начальную школу организации мышления. И этот ответ гласит, что самоочевидная математическая истина оперирует не предметами, не физическими процессами, не реальными явлениями материального мира. Образно говоря, здесь фигурируют лишь некоторые условные, лишенные всякой определенности, абсолютно безликие «ниши» нашего собственного сознания. И не более того. В этом смысле сознание может быть уподоблено какой-то огромной камере хранения, которая создается на вокзалах: ее одинаковые железные ячейки могут скрывать в себе все, что угодно: от нехитрого багажа командированного инженера до контрабандного наркотика. Каждая из этих «ниш-ячеек» — именно в силу своей пустоты — строго подобна и равна любой другой, и вместе с тем каждая из них способна вместить в себя все, что угодно: корову, страховую контору, фортепианный концерт, дядю Степу, бравого солдата Швейка и так далее. Правда, вместить все это в себя она может только «задним числом», только после выполнения операций количественного сравнения. Поэтому на самом деле, обращаясь к математическому расчету, мы складываем отнюдь не физические реалии окружающего мира, но всякий раз именно эти ничем не заполненные равновеликие «объемы» нашего сознания, и только получив какой-то результат, наполняем их подручным содержанием. А уже затем начинаем обманывать сами себя, самих себя, уверяя в том, что складывали именно конкретные вещи, которые обладают вполне доступными измерению характеристиками.

Можно привести и другой образ — образ неких чистых ярлыков, на которых можно написать все, что мы захотим: «египетская пирамида», «паровой утюг», «бубновый валет» и так далее. Но что бы мы ни начертали на любом из них после выполнения каких-то количественных операций, каждый останется абсолютным подобием всем остальным, ничто не изменит его качественной определенности. Вернее сказать, его абсолютной неопределенности, безликости. Эта не заполненная ничем плоскость, точно так же, как и пустая «ниша» нашего сознания, существует исключительно в нем, является его и только его фантомом. Если угодно, — чистой фикцией. Словом, в мире объективной, то есть независящей от него, и существующей вне его реальности ничего этого нет. Однако если все математические операции выполняются именно с фиктивными сущностями, то, получается, что во всем Космосе не найдется ни одного реального физического аналога того, что в действительности подвергается «чистому» математическому сложению.

Ясно, что все сказанное нами не может не порождать крамольный для обыденного сознания вопрос. Если и в самом деле математика оперирует вещами, которые вообще не существуют в природе, то и все ее законы — это не законы природы, но предписанные ей принципы организации нашего собственного мышления?

Да это так: при всем том, что строгое математическое построение продолжает оставаться одним из основных средств познавательной деятельности, соотношение математических истин, законов функционирования нашего собственного сознания и самой действительности — это сложнейший вопрос, который не разрешен и по сию пору.

Первым, кто задался этим оказавшихся неожиданным для всех вопросом, был все тот же Кант. До него неоспоримо господствовало мнение, согласно которому математические законы и принципы лежат в основе устройства всей Вселенной. Больше того, предполагалось, что сам Господь Бог руководствовался математикой при создании нашего мира и что изучая ее мы проникаем в замысел Творца. Кант впервые ставит вопрос: как возможна чистая математика? То есть математика, истины которой справедливы сами по себе и абсолютно не зависят от нашего опыта, но вместе с тем, применимы ко всем его результатам. Словом, используя только что приведенные нами образы, все количественные соотношения между пустыми «нишами» сознания или чистыми «ярлыками» вещей нисколько не зависят от того, что именно может быть положено в них, или начертано на пустых бланках.

Ответ немецкий философ находит в том, что в основе математики лежат не объективные истины, не основополагающие законы природы, но жесткие схемы, в соответствии с которыми только и может функционировать собственный рассудок человека.

Строго говоря, этот вывод нисколько не противоречил тому убеждению, согласно которому математические принципы являлись одними из принципов организации породившего этот мир Божественного разума. Ведь человек — это образ и подобие Бога, и если предположить, что над-материальное существо могло оставить свое подобие только в такой же над-материальной сфере, человеческий разум оказывался прямым отпечатком Божественного. А значит, и сам обладал возможностью предписывать какие-то законы воспринимаемому миру. Тем более это вывод не противоречит тому, что сам дух может оказаться ничем иным, как особой формой вещественности.

По Канту, мы уже вскользь говорили об этом, в основе всех математических выводов лежат врожденные представления человека о таких предельно общих и отвлеченных началах, как пространство и время. Лишь созерцая градуированное нашим сознанием «пустое» пространство и по-разному комбинируя в собственной же голове равные его доли, мы можем составить представление о геометрии окружающего мира. Точно так же, только операции с равными интервалами скрыто созерцаемого нашим же внутренним чувством столь же «пустого» времени дают представление обо всех числах. Поэтому все представления о количественной структуре реальной действительности опираются именно на эти внутренние созерцания однородных порций не заполненной ничем «пустоты». Не случайно Кант называет весь посвященный математике раздел своего исследования «трансцендентальной эстетикой».

Напомним, что над этим внутренним созерцанием встают априорные схемы рассудка, т.е. те логические категории (качества, количества, отношения, модальности), о которых говорилось в первой главе. Поэтому сам процесс восприятия, дешифрации, и последующей обработки сигналов, которые посылает нам окружающая среда, может соответствовать только схемам, которые порождены логикой именно этой «эстетики» и «чистых понятий рассудка». Все то, что выходит за пределы жесткого заранее сформированного ими контура, обязано проходить мимо нашего сознания, не задевая его, как не задевают мысли не знающего грамоты человека многие из тех откровений, которые изложены в книгах. Человек способен организовывать и осознавать свой собственный опыт лишь в строгом соответствии с ними. Поток чувственных восприятий вынужден подстраиваться под них. Они не просто неотъемлемая часть нашего общего умственного багажа, — это те единственно возможные рациональные схемы, в соответствии с которыми только и может обрабатываться и систематизироваться непрерывный поток сигналов, исходящих от внешней действительности.

Так атмосферный кислород попадает в кровь, а оттуда — в клетки организма благодаря особым образом организованной дыхательной системе, которая состоит из легких и дыхательных путей, включающих ноcoвые ходы, гортань, трахею, бронхи, мелкие бронхи и альвеолы. В последних и происходит газообмен: кислород проникает в кровь, а углекислый газ из крови – в легочные пузырьки. Аналогично газообмену, система информационного обмена со средой предусматривает по-своему организованные каналы внутреннего созерцания, свою «анатомию» органов до-логической обработки поступающих извне сигналов. Поэтому вся изложенная в умных книгах математика представляет собой лишь выявление и анализ результатов, которые, говоря языком Канта, a priori определяются подобной «анатомией». Как соматические клетки имеют дело не с самим воздухом, но с результатом сложной предварительной переработки газовой смеси, так и сознание работает с полуфабрикатом информации, на которую уже наложила свою печать виртуальная система ее предварительной переработки. Именно отсюда и оказывается справедливым обратный, уже знакомый нам, вывод, согласно которому строгая гармония и порядок, царствующие в природе, не свойственны ей самой, но проецируются на внешний мир нашим сознанием.

Кантовский взгляд на математику менял многое. Ведь до него господствовало принадлежавшее Лейбницу представление, согласно которому она являет собой сферу аналитических истин, т.е. положений, не добавляющих решительно ничего к тому, что уже содержится в ее основаниях. Таким образом, вся математика — это просто гигантская тавтология, наука, которая не дает никакого нового знания сверх того, что уже скрывалось в ее аксиомах.

Кант же обнаружил, что в ней есть достаточно простора для таких суждений, о которых и говорится в этой главе. Другими словами, для таких операций, в результате которых сумма способна обнаруживать свойства, ранее не содержавшиеся ни в одном из слагаемых. Он называет эти суждения синтетическими, и, справедливо, утверждает, что именно синтетические истины — главная цель познания. В самом деле, нам интересно то, как разлетающиеся после первичного взрыва частицы образуют атомы, атомы — молекулы, молекулы — живой организм, наконец, как живой организм порождает знание обо всех этих метаморфозах. Словом, как все новое в наблюдаемом нами мире складывалось из того, что ни на одной ступени своего развития не содержало в себе ни грана будущей новизны, так и все новое знание складывается именно из синтетических суждений.

Образно говоря, взгляд Лейбница на природу математики уподоблял ее огромному микроскопу, который способен обнаружить неразличимые глазом детали. Да, с его помощью мы узнаем что-то новое о предмете, но это новое уже изначально содержалось в нем, как уже изначально каждая монада таила в себе все определения универсума. Поэтому в своем знании мы лишь воспроизводим существовавшее от века. Его великий соотечественник, напротив, разглядел в ней инструмент скульптора, назначение которого состоит в том, чтобы создавать вещи, недоступные самой природе. Правда, и скульптор — это лишь одно из олицетворений природы,— могут возразить нам; к тому же сам Микеланджело на вопрос о том, как рождаются чудеса его гения, как-то ответил: очень просто — я беру глыбу мрамора и отсекаю все лишнее. Но мы уже знаем, что все противоречия находят свое разрешение в синтетическом единстве результата. Понимал это и Микеланджело, в стихах которого есть и такое:

Когда скалу мой жесткий молоток

В обличия людей преображает, –

Без мастера, который направляет

Его удар, он делу б не помог…

Впрочем, и этим спор не разрешается, поэтому другой дотошный критик мог бы найти основания нового синтеза, пример восхождения к более высоким ступеням обобщений, приведя продолжение сонета:

…Но божий молот из себя извлек

Размах, что миру прелесть сообщает;

Все молоты тот молот предвещает,

И в нем одном — им всем живой урок.

Чем выше взмах руки над наковальней,

Тем тяжелей удар: так занесен

И надо мной он к высям поднебесным;

Мне глыбою коснеть первоначальной,

Пока кузнец господень — только он! —

Не пособит ударом полновесным.⁸⁰

Итак, каждый из пройденных нами этапов обнаруживает новые стороны действительности, обогащает знание, углубляет понимание того, как устроен вполне реальный мир, в котором мы существуем. Словом, мы узнаем о нем все больше и больше… но носитель всех новых качеств практически полностью дематериализуется. Все конкретное и осязаемое в самом начале по мере обобщений растворяется в небытии, оставляя по себе лишь подобие улыбки чеширского кота. И в то же время именно это не существующее ни в одном из физических измерений «ничто» оказывается средоточием «всего», т.е. исчерпывающей полноты определений, объясняющих окружающую действительность.

Таким образом, абсолютная пустота оказывается своей собственной противоположностью, ибо в конечном счете обнаруживает себя вместилищем абсолютной полноты всей «физики», «химии», «биологии», «социологии» вместе взятых, словом носителем последней тайны всеобщего развития. И только эта всеобщая полнота результата обретает возможность руководить возведением его собственных оснований…

Поэтому, если искать истину математики только в самой математике, а физики — в самой физике, мы рискуем не найти вообще ничего. И стоит ли удивляться тому, что Бертран Рассел говорил: чистая математика целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта… словом, математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим. Ему вторит физик: «…не существует такого метода доказательства как «индукция». Идея доказательства каким-то образом достигнутой «почти-определенности» в науке — миф. Каким образом я мог бы «почти-определенно» доказать, что завтра не опубликуют удивительную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспоримые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но я говорю все это не для того, чтобы показать, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика дает определенности — это тоже миф.⁸¹

Согласимся, что позиции Канта и Лейбница противоречат друг другу. Однако и мы уже успели задуматься над тем, что все и ничто, конец и начало, дух и материя, Бог… и сам человек каким-то неведомым образом сходятся в таинстве рождения всего нового, начиная с проточастиц и кончая учением, которое трактует о прошлой и будущей истории Вселенной. А ведь по большому счету оба мыслителя, каждый своим путем, обнаруживают прямое тождество все этих же начал. Так, может, именно в тождестве и лежит ключ к решению встающих перед нами загадок?

Мы приводим ссылки на великих мыслителей прошлого как бы в порядке самооправдания, только для того, чтобы показать: сомнения в абсолютной истинности стереотипного ответа на вынесенный в заглавие вопрос — это вовсе не аберрация сознания, не кульбит софистической мысли, имеющий целью запутать собеседника. Строго говоря, вопрос о том, почему получаемые чисто аналитическим путем, что говорится, «на кончике пера», математические истины все-таки подтверждаются нашим опытом, не решен и сегодня. Больше того, решать его, по-видимому, придется еще не одно столетие. И как бы в подтверждение этой мысли мы видим, что не только сложнейшие, требующие предельного напряжения интеллекта, построения высшей математики, но даже простейшая задача обнаруживает сильную зависимость и от каких-то общих господствующих в совокупном сознании цивилизации идей, и от принятой в социуме методологии систематизации явлений. Оказывается, что вне этого «над-математического» аппарата даже школьные задачи строгого решения не имеют.

С Кантом, как впрочем, и с Лейбницем, спорят и по сию пору. И до сего дня очень многие видят в математике выражение некоторой абсолютной истины, которая кристаллизовала в себе обнаженную до голой схемы структуру самой объективной реальности. Однако и через двести лет с лишним многие вынуждены соглашаться с ними…

Разумеется, здесь не ставится задача разрешить вопрос о соотношении результатов абстрактных математических построений и реальной структуры окружающего нас мира. Но, не тяготея ни к одной из этих полярных позиций, мы вправе смотреть на математику, как на методологию человеческого познания. Вернее сказать, как на специфическую проекцию какой-то единой методологии познавательной деятельности человека, ибо математика, разумеется, не исчерпывает эту роль полностью. (Как, впрочем, не исчерпывает ее и наука в целом, ибо познание, как мы уже могли убедиться, немыслимо ни без философского осмысления ее результатов, ни без эстетического освоения мира, ни даже без веры…)

Но если так, то любое противоречие тому результату, который прогнозируется математическими законами, должно выступать не только как индикатор ошибки, но и как побудительный стимул к движению в каком-то новом направлении. Важно понять, что несоответствие результата «сложения» любой заранее затверженной истине — это далеко не всегда ошибка в построениях, не всегда дефект расчета, и способность разглядеть в несоответствии ориентир поиска того, «что» именно «будет» в результате такой операции, — представляет собой обязательный элемент квалификации исследователя. Если такой способности нет, нет и настоящего исследователя, есть лишь простой ремесленник.

Кстати, вывод остается справедливым, абсолютно независимо от того, что именно мы готовы признать в древней науке. Если, вслед за немецким философом (кстати, именно Канту принадлежит мысль о том, что в любой науке ровно столько истины, сколько в ней математики) мы ограничим ее только сферой «трансцендентальной эстетики», необходимо будет согласиться с тем, что любая количественная аномалия потребует не только перепроверки всех логических построений, но и дальнейшего исследования. Если же, напротив, мы увидим в ней отражение не зависящих ни от нашей воли, ни от нашего сознания отношений между явлениями внешнего мира, результат останется тем же самым. Любое несоответствие и в этом случае будет служить указанием на необходимость тщательной перепроверки выполненной процедуры. Но прежде всего — на необходимость глубокого осмысления полученного результата. Другими словами, выполнения того, что в науке называется качественным анализом. Словом, методологическая роль математики заключается в том, что, как бы мы ни относились к результату измерения и сопоставления, любая количественная аномалия безупречно выполненного расчета (понятно, что о формальных ошибках речи вообще не может быть) должна расцениваться как стимул к дальнейшему поиску.

Но возможны ли там, где отвлекаются от всех качественных отличий и обращаются к незапятнанной никакими отличиями чистоте однородного, хотя бы какие-то количественные аномалии? Словом, нам предстоит заняться вещами, которые относятся к одному классу. Понятно, что заниматься операциями с равными порциями «пустоты» затруднительно, поэтому и здесь мы не выйдем за пределы физического. Но все же уровень обобщений и в качественно однородном останется близким к предельному. Впрочем, правильней сказать, что именно здесь, прежде всего здесь он должен достигать границ возможного.