- •Введение
- •Содержание разделов дисциплины
- •Тема 2.2 Термодинамика
- •Тема 2.3 Реальные газы
- •Тема 2.4 Свойства жидкостей и твердых тел
- •Раздел 3. Электричество и магнетизм
- •Тема 3.1 Элементы электростатики
- •Тема 3.2 Постоянный электрический ток
- •Задания для самостоятельной работы студентов и методические указания по их выполнению
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Способ 2
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементы электростатики Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Взаимодействие точечных зарядов. Закон Кулона
- •Напряженность электрического поля
- •Потенциал поля точечных зарядов. Работа по перемещению зарядов в поле
- •Движение заряженных частиц в электрическом поле
- •Электрическая емкость. Конденсаторы
- •Энергия электрического поля
- •Постоянный электрический ток Основные формулы
- •Сила тока I
- •Сопротивление однородного проводника r
- •Сопротивление соединения проводников:
- •Закон Ома
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Закон Ома для участка цепи
- •Закон Ома для всей цепи
- •Правила Кирхгофа
- •Работа и мощность тока
- •Электромагнетизм Основные формулы
- •Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
- •Закон Био-Савара-Лапласа
- •Закон электромагнитной индукции
- •Индуктивность контура с током
- •Объемная плотность энергии магнитного поля
- •Примеры решения задач
- •Механические колебания и волны Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Кинематика гармонических колебаний
- •Волны в упругой среде
- •Электромагнитные колебания и волны Основные формулы
- •Формула Томсона
- •Связь длины электромагнитной волны с периодом т и частотой колебаний
- •Скорость электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Геометрическая оптика и фотометрия Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Геометрическая оптика
- •Фотометрия
- •Тепловое излучение, квантовые свойства света Основные формулы
- •Закон Кирхгофа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина
- •Фотоэлектрический эффект
- •Строение атома Резерфорда – Бора Основные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Строение ядра атома Основные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Основные единицы физических величин си
- •Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц
- •Основные физические постоянные
- •Литература
- •Содержание
Примеры решения задач
Пример 1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения . В интервале времени от 1 до 2с найти мгновенные скорости и ускорения в начале и конце интервала. Найти также среднюю скорость движения.
Дано: |
Решение: |
|
, , . |
|
, , .
Ответ: ,, , , .
Пример 2. Мотоциклист двигается по окружности на арене цирка. В некоторый момент времени, когда его скорость была равна 72 км/час он выключает двигатель мотоцикла и, продолжая двигаться по окружности, проходит путь м за время Т=10 с. Определить скорость и полное ускорение мотоциклиста в конце этого пути. Радиус окружности принять равным м.
Дано: |
Решение: |
|
Обозначим скорость мотоциклиста в момент отключения двигателя и будем считать этот момент началом отсчета времени .Начиная с этого момента времени скорость мотоциклиста будет изменяться не только по направлению, но и по величине. Величина (модуль) полного ускорения будет равна |
|
,
где - нормальное ускорение, - тангенциальное ускорение. Путь и скорость мотоциклиста будут определяться формулами:
,
Выразим из первой формулы
,
и подставим во вторую. Получим величину скорости в момент времени :
.
Полное ускорение мотоциклиста будет равно:
Ответ:
Пример 3. Тело брошено со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найти: 1) уравнение траектории, по которой тело будет двигаться; 2) Время подъема, время спуска и время полета тела; 3) Дальность полета; 4) Максимальную высоту подъема тела.
Решение:
Уравнение движения тела имеет вид:
- по оси : ,
-по оси : .
Здесь - координаты точки начала движения, , - проекции вектора начальной скорости и ускорения тела.
Выберем систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх, а начало координат совпадало с точкой бросания. Тогда: ; ; , где - ускорение свободного падения. Уравнения движения будут иметь вид:
(*)
(**)
1) Найдем уравнение траектории. Из уравнения (*) находим, что . Подставив это выражение в уравнение (**), получим:
Очевидно, что полученное уравнение траектории движения тела есть уравнение параболы.
2) Найдем время подъема тела на максимальную высоту. Учтем, что , . Очевидно, что при . Из уравнения находим, что
Найдем время, которое тело находится в полете (), а также время спуска тела с максимальной высоты (). Очевидно, что при , т.е. . Отсюда следует, что:
Сравнивая выражения для и , заметим, что . Учитывая, что , получим достаточно очевидный результат:
.
3) Найдем дальность полета тела . Очевидно, что при координата.
Поэтому дальность полета или
Несложно заметить, что наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом к горизонту.
4) Максимальную высоту подъема тела найдем из условия при .
Поэтому или
.
Очевидно, что наибольшая высота подъема тела достигается при бросании тела под углом к горизонту, т.е. вертикально вверх.
Пример 4. Металлический шарик массой 5г падает с высоты 1м на горизонтальную металлическую плиту, отражается от нее и поднимается на высоту 0,8м. Определить среднюю силу удара, если соприкосновение шарика со столом длилось 0,01с.
Дано: |
Решение: |
|
Импульс силы будет равен изменению импульса шарика, т.е., где - скорости шарика при подлете и отскоке от плиты. Знак минус означает, что направление скорости противоположно направлению скорости . Поэтому |
|
(*)
При свободном падении с высоты скорость тела на уровне определяется по формуле , где - ускорение свободного падения. Подставляя значение в выражение (*), получим:
Проверка размерностей:
Пример 5. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе колеса радиуса , задается уравнением . К концу третьей секунды эта точка получила нормальное ускорение, равное . Определить радиус колеса.
Дано: |
Решение: |
|
(*), где угловая скорость . В конце третьей секунды . |
|
Из выражения (*) следует, что
Пример 6. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости?
Дано: |
Решение: |
|
Кинетическая энергия тела, участвующая одновременно в двух движениях, равна сумме кинетических энергий поступательного - и вращательного - движений: . |
|
Моменты инерции полого цилиндра и шара соответственно равны:
, . Учитывая, что , получим выражения для кинетических энергий цилиндра и шара
Поскольку и , то . Откуда
или ,
т.е скорость шара в 1,2 раза больше скорости цилиндра.
Пример 7. Легкая нить с прикрепленным к ней грузом массой 2 кг намотана на сплошной вал радиусом 10 см. При разматывании нити груз опускается с ускорением 0,5 м/с2. Найти массу и момент инерции вала.
Дано: |
Решение: |
|
Уравнение динамики вращательного движения , где - момент инерции вала, - угловое ускорение, - радиус вала. На вал действует тангенциальная сила , создающая |
|
вращающий момент, равный . Поэтому
,
Момент инерции вала (сплошного цилиндра) равен , откуда
, .
Пример 8. Сплошной диск радиусом 20 см вращается под действием постоянной касательной силы 40 Н. Кроме того, на него действует момент сил трения 2 Н·м. Угловое ускорение диска равно 30 рад/с. Определить массу диска.
Дано: |
Решение: |
|
Уравнение динамики вращательного движения (*), где - сумма моментов всех сил, действующих на диск. В нашем случае . Учитывая, что момент инерции сплошного диска |
|
, где - масса, а - радиус диска, уравнение (*) запишем в виде:
Отсюда
или
Пример 9. Человек, масса которого 70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью 7 м/с. Определить силу трения тележки о землю, если перед прыжком тележка была неподвижна относительно земли, а после прыжка остановилась через 5 с.
Дано: |
Решение: |
|
Найдем скорость тележки, которую она приобрела после прыжка. В соответствии с законом сохранения импульса (систему человек-тележка считаем изолированной) имеем:
|
|
Здесь -скорости тележки до и в момент прыжка соответственно, причем до прыжка скорости человека и тележки равны и равны нулю, т.е. ; - скорость человека в момент прыжка; - массы тележки и человека. Поэтому , откуда
.
После того как тележка пришла в движение (т.к. получила импульс ) она двигалась под действием силы трения, в результате чего она за время остановилась (ее импульс стал равным нулю). Изменение импульса тележки за этот промежуток времени составило:
Поскольку , то
.
Полученное выражение показывает, что сила трения будет совпадать по направлению со скоростью человека в момент прыжка , т.е. будет противоположна направлению движения тележки в этот момент. Величина этой силы
Пример 10. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, совпадающей с геометрической осью платформы, с частотой . В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Дано: |
Решение: |
|
Поскольку платформа вращается по инерции, сторонних сил нет. В этом случае для системы человек – платформа справедлив закон сохранения момента импульса относительно оси вращения , |
|
где - момент инерции платформы с человеком относительно оси , - угловая скорость платформы. Т.к. момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему, то , где - моменты инерции платформы и человека.
Тогда (*) .
Пусть и - моменты инерции платформы и человека до и после перехода человека на край платформы. Тогда закон сохранения момента импульса (*) будет иметь вид:
(**).
Здесь - угловая скорость вращения платформы после перехода человека, , - искомая линейная скорость.
Момент инерции платформы относительно оси до и после перехода человека не изменится, т.е. (форма платформы – диск). Момент инерции человека относительно оси будет изменяться: (человек в центре платформы, ), (человек на граю платформы радиусом ). С учетом этого запишем выражение (**):
Отсюда находим :
.
.
Пример 11. При выстреле пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Сопротивлением воздуха и массой пружины пренебречь.
Дано: |
Решение: |
|
Потенциальная энергия сжатой пружины при выстреле преобразуется в кинетическую энергию пули . Поэтому можно записать, что
|
|
Запишем для пули закон сохранения полной механической энергии:
Положив (нулевой уровень выберем совпадающим с точкой, в которой пружина пистолета несжатая) и учитывая, что наивысшей точке траектории пули , а , получим . Откуда
Пример 12. К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1 кг приложили силу 1 Н и остановили его. Путь торможения составил 1 м. Определить скорость шара до начала торможения.
Дано: |
Решение: |
|
Кинетическая энергия катящегося шара равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений , |
|
где - масса шара, - его момент инерции, и - линейная и угловая скорости. Учитывая, что и , где - радиус шара, запишем для :
Работа тормозящей силы на пути будет равна изменению кинетической энергии шара. Это изменение равно поскольку шар остановился. Поэтому , откуда
,
Пример 13. С какой скоростью с поверхности Солнца должна быть выброшена частица, чтобы она могла удалиться в бесконечность?
Дано: |
Решение: |
Используем справочные данные: - радиус Солнца; - масса Солнца; - гравитационная постоянная. |
Кинетическая энергия частицы (Е) должна быть не меньше работы (А), совершаемой против сил притяжения частицы к Солнцу, т.е. или , откуда (*) |
|
Работа будет работой переменной силы притяжения частицы массой к Солнцу (закон всемирного тяготения), т.к. эта сила зависит от расстояния от Солнца. Элементарная работа силы будет:
Полная работа:
Поэтому:
Проверка размерностей:
Пример 14. Протон движется со скоростью, равной 0,7 скорости света. Найти импульс и кинетическую энергию протона.
Дано: |
Решение: |
Используем справочные данные: - масса покоя протона; - скорость света в вакууме;
|
Импульс частицы в релятивистской механике определяется по формуле , где . |
|
Кинетическая энергия в релятивистской механике определяется как разность между полной энергией и энергией покоя этой частицы:
Проверка размерностей:
Пример 15. Космическая ракета движется с большой относительной скоростью. Релятивистское сокращение ее длины составило 36%. Определить скорость движения ракеты.
Дано: |
Решение: |
|
В системе координат, относительно которой ракета покоится, ее длина равна . В системе координат, относительно которой ракета движется со скоростью , ее длина равна . Эти длины связаны соотношением: , где . |
|
По условию задачи или . Откуда . С другой стороны . Поэтому и .
Откуда: .
Пример 16. С момента образования до распада -мезон пролетел расстояние 1,35 км в системе координат, связанной с Землей. Время жизни -мезона в этой системе координат равно 5 мкс. Определить время жизни -мезона в системе координат, связанной с -мезоном.
Дано: |
Решение: |
|
Скорость движения системы координат, связанной с -мезоном, относительно Земли равна: Время жизни -мезона в системе координат, связанной с Землей, равно
|
|
,
где искомое - время жизни -мезона в системе координат, связанной с ним. Отсюда: .
Вычисления:
.