- •Введение
- •Содержание разделов дисциплины
- •Тема 2.2 Термодинамика
- •Тема 2.3 Реальные газы
- •Тема 2.4 Свойства жидкостей и твердых тел
- •Раздел 3. Электричество и магнетизм
- •Тема 3.1 Элементы электростатики
- •Тема 3.2 Постоянный электрический ток
- •Задания для самостоятельной работы студентов и методические указания по их выполнению
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Способ 2
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементы электростатики Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Взаимодействие точечных зарядов. Закон Кулона
- •Напряженность электрического поля
- •Потенциал поля точечных зарядов. Работа по перемещению зарядов в поле
- •Движение заряженных частиц в электрическом поле
- •Электрическая емкость. Конденсаторы
- •Энергия электрического поля
- •Постоянный электрический ток Основные формулы
- •Сила тока I
- •Сопротивление однородного проводника r
- •Сопротивление соединения проводников:
- •Закон Ома
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Закон Ома для участка цепи
- •Закон Ома для всей цепи
- •Правила Кирхгофа
- •Работа и мощность тока
- •Электромагнетизм Основные формулы
- •Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
- •Закон Био-Савара-Лапласа
- •Закон электромагнитной индукции
- •Индуктивность контура с током
- •Объемная плотность энергии магнитного поля
- •Примеры решения задач
- •Механические колебания и волны Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Кинематика гармонических колебаний
- •Волны в упругой среде
- •Электромагнитные колебания и волны Основные формулы
- •Формула Томсона
- •Связь длины электромагнитной волны с периодом т и частотой колебаний
- •Скорость электромагнитной волны в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Геометрическая оптика и фотометрия Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Геометрическая оптика
- •Фотометрия
- •Тепловое излучение, квантовые свойства света Основные формулы
- •Закон Кирхгофа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина
- •Фотоэлектрический эффект
- •Строение атома Резерфорда – Бора Основные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Строение ядра атома Основные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Основные единицы физических величин си
- •Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц
- •Основные физические постоянные
- •Литература
- •Содержание
Способ 2
Применяя уравнение Клапейрона - Менделеева, получим те же результаты.
откуда
, .
Вычисляя, получим
Проверка размерностей:
Ответ: , .
Пример 4. В баллоне содержится кислород массой г и аргон массой г. Давление смеси МПа, температура К. Определить емкость баллона.
Дано: |
Решение: |
Для кислорода:
для аргона
|
По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Поэтому, выражая каждое из парциальных давлений из уравнения Менделеева – Клапейрона, получим
Откуда емкость баллона: |
|
Вычисляя, получим:
.
Проверка размерностей:
.
Ответ: .
Пример 5. В баллоне емкостью 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.
Дано: |
Решение: |
|
Очевидно, что после того, как из баллона было взято 10 г газа, оставшаяся масса газа занимает тот же объем 10 л. Поэтому .При этом , где - масса взятого из баллона газа. Для конечного состояния запишем уравнение Менделеева - Клапейрона |
|
,
из которого выразим неизвестное :
Найдем массу (также из уравнения Менделеева - Клапейрона для начального состояния) и подставим в выражение для . Получим:
После преобразований имеем:
Проверка размерностей:
Ответ:
Пример 6. В резервуаре объемом 1,2 м3 находится смесь 10 кг азота и 4 кг водорода при температуре 300 К. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Дано: |
Решение: |
|
По закону Дальтона ,(*) где -парциальное давление азота, - водорода. Из уравнения Менделеева -Клапейрона для азота и водорода выразим , и подставим в (*): . |
|
Молярная масса смеси газов определяется следующей формулой
где - количество молей азота, - водорода.
Вычислим и .
,
,
Проверка размерностей:
.
Ответ: ;
Пример 7. Для газа, давление которого 750 мм рт. ст.и температура 27оС, определить концентрацию молекул и среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы.
Дано: |
Решение: |
|
Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы: , - число степеней свободы, - постоянная Больцмана
Для поступательного движения , поэтому:
|
|
Концентрацию молекул найдем из уравнения .
Произведем вычисления:
Проверка размерностей:
;
Ответ: ; .
Пример 8. Найти средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.
Дано: |
Решение: |
|
Средняя кинетическая энергия движения молекулы: , где - число степеней свободы, - постоянная Больцмана |
|
Молекула водорода двухатомная. Число степеней свободы молекулы водорода равно 5. Поступательному движению соответствует три степени свободы , вращательному – две . Тогда средняя кинетическая энергии одной молекулы будет:
а) для поступательного движения - ;
б) для вращательного движения - .
Для нахождения кинетической энергии поступательного и вращательного движения всех молекул необходимо найти число молекул в газе массой .
,
где - число молей, - постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия движения молекул водорода будет:
- для поступательного движения –
;
- для вращательного движения – ,
где - молярная газовая постоянная.
Вычисления:
,
.
Проверка размерностей:
.
Ответ: ; .
Пример 9. Газ, занимавший объем 20 л при нормальных условиях, был изобарически нагрет до 80оС. Определить работу расширения газа.
Дано: |
Решение: |
Нормальные условия:
|
Работа расширения газа при изобарическом процессе определяется по формуле: Число молей определим из уравнения Менделеева - Клапейрона |
|
, откуда . Тогда:
.
Проверка размерностей:
Ответ: .
Пример 10. Азот массой 2 кг охлаждают при постоянном давлении от 400 К до 300 К. Определить изменение внутренней энергии, внешнюю работу и количество выделенной теплоты.
Дано: |
Решение: |
|
При изобарическом процессе при сообщении газу массой количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину , при этом количество теплоты определяется следующим выражением: |
|
.
Здесь - молярная теплоемкость при постоянном объеме, - молярная теплоемкость при постоянном давлении, причем
, ,
где - число степеней свободы молекул. Для двухатомных молекул газов
. Поэтому
,(*)
.(**)
Работа газа при изменении объема от до при изобарическом процессе равна
.
Выражение для найдем, используя уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний:
; .
Отсюда следует, что
,
а выражение для работы имеет вид:
(***)
Вычислим значения , , , см. выражения (*), (**), (***).
Несложно заметить, что одна из трех физических величин , , могла быть найдена по найденным значениям двух других с использованием первого начала термодинамики, т.е. с использованием выражения .
Ответ: , , .
Пример 11. Определить удельные теплоемкости и для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.
Дано: |
Решение: |
|
Удельной теплоемкостью газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание: при постоянном объеме (теплоемкость ) или при постоянном давлении (теплоемкость ) |
|
А) Нагревание при постоянном объеме. Количество теплоты равно . Отсюда
,
причем , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы, а работа по расширению газа равна нулю (). Изменение внутренней энергии смеси газов определяется формулой:
.
Здесь , - число степеней свободы первого и второго газов. Окончательно получим:
.
Б) Нагревание при постоянном давлении. Количество теплоты равно . Отсюда
причем , т.е сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. При изобарическом расширении работа для каждого из двух газов равна:
, ,
Поэтому:
Выражение для будет иметь вид:
Вычислим для условий задачи значения и :
Проверка размерностей:
Ответ: , .
Пример 12. Аргон при давлении 0,8 атм. изменил объем с 1л до 2 л. Найти изменении внутренней энергии для двух случаев: а) расширение было изобарическим; б) расширение было адиабатическим.
Дано: |
Решение: |
|
Согласно первому началу термодинамики переданное системе количество теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение механической работы . (*) |
|
А) Изобарическое расширение. Для изменения внутренней энергии можно записать
,
где -удельная, - молярная теплоемкости, - число степеней свободы. В выражение для входят неизвестные и , которые могут быть найдены из уравнений Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний с учетом того, что :
; .
отсюда или . Потому
Подставив выражение для в формулу для , окончательно получим:
.
Вычислим для изобарического процесса.
Б) Адиабатическое расширение.
При адиабатическом расширении теплообмена с внешне средой не происходит, поэтому . Уравнение (*) имеет вид:
или
Последнее уравнение говорит о том, работа расширения газа при адиабатическом процессе может быть произведена только за счет убыли внутренней энергии газа. Формула для работы адиабатического процесса имеет вид:
Здесь - показатель степени адиабаты. Поскольку , то
.
Поскольку (уравнение Менделеева – Клапейрона), то получим , выраженное через заданные в условии параметры:
Вычислим для адиабатического процесса.
Ответ: а) ; б) .
Пример 13. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 27оС. Сначала водород расширился адиабатически, при этом объем увеличился в 5 раз, затем был сжат изотермически, при этом объем уменьшился в 5 раз. Найти: а) температуру в конце адиабатического расширения; б) полную работу, совершенную газом.
Дано: |
Решение: |
- число степеней свободы
|
а) При адиабатическом процессе температура и объем связаны соотношением , откуда , где |
|
Вычислим :
б) Полная работа, совершенная газом , где - работа газа при адиабатическом расширении, - работа газа при изотермическом сжатии. Запишем выражения для них:
(здесь учтено, что ),
.
Вычислим , , :
(знак минус указывает, сто при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами).
Проверка размерностей:
Ответ: а) ; б) .
Пример 14. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за цикл работу . Температура нагревателя 400 К, температура холодильника 260 К. Найти: а) кпд машины; б) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за один цикл; в) количество теплоты, отдаваемое машиной холодильнику за один цикл.
Дано: |
Решение: |
|
а) КПД цикла Карно ,(*) где - количество теплоты, полученное от нагревателя, - количество теплоты, отданное холодильнику, - работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины. Выражение (*) позволяет вычислить кпд: |
|
б) Из выражения (*) имеем, что:
.
Вычислим :
в) Поскольку , то , откуда
.
Ответ: а) ; б) ; .
Пример 15. В результате изотермического расширения объем кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.
Дано: |
Решение: |
|
Изменение энтропии системы определяется по формуле , |
|
где - количество тепла, сообщенное газу, - абсолютная температура,
, - значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.
При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что , поэтому , .
Интегрируем последнее выражение:
.
Таким образом, искомое изменение энтропии:
Проверка размерностей:
Ответ:
Пример 16. Как изменится энтропия 2 г водорода, занимающего объем 40 л при температуре 270 К, если давление увеличить вдвое при постоянной температуре, а затем повысить температуру до 320 К?
Дано: |
Решение: |
|
Изменение энтропии системы определяется по формуле . Используя первое начало термодинамики, найдем изменение количества теплоты : .(*) |
|
Здесь - масса газа, - молярная масса газа, - молярная теплоемкость при постоянном объеме, - изменение температуры газа, - давление газа, - изменение объема, - работа расширения газа.
Подставим в (*) выражения для и :
для двухатомного газа ;
из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что .
Поэтому:
;
.
Для нахождения изменения энтропии интегрируем последнее выражение:
Учитывая, что для изотермического процесса и что , получим для нашего случая выражение для изменения энтропии:
.
Произведем вычисление
Проверка размерностей:
Ответ: .
Пример 17. Лед массой 2 кг, находящийся при температуре -10оС, нагрели и превратили в пар. Определить изменение энтропии.
Дано: |
Решение: |
|
- температура плавления льда, - температура парообразования, , - удельные теплоемкости льда и воды соответственно, - удельная теплота плавления льда, - удельная теплота парообразования. Общее изменение энтропии равно сумме изменений энтропии, которые происходят на отдельных этапах: . Этап 1. Нагревание льда от температуры до . В этом случае . |
|
.
Этап 2. Плавление льда. В этом случае .
.
Этап 3. Нагревание воды от температуры до . .
.
Этап 4. Испарение воды. .
.
Общее изменение энтропии:
.
Ответ: .