4. Напряженность магнитного поля кругового тока

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводнику, имеющему форму окружности радиусом (круговой ток). Найдем напряженность на оси кругового тока на расстоянии от плоскости, в которой лежит контур. По закону Био- Савара-Лапласа напряженность создаваемая элементом проводника dl равна

, =90^o следовательно,

.

Вектор составляет некоторый угол с осью ОМ. Каждому элементу можно сопоставить диаметрально противоположный элемент dl Для этих элементов перпендикулярные составляющие dH_ и взаимно уничтожаются, а параллельные dH_ll и dH_ll составляющие складываются. Следовательно, результирующее поле будет направлено по оси ОМ. Зная направление, мы сможем теперь определить величину , сложив составляющие dH_ll всех элементов контура.

Но , тогда

- напряженность магнитного поля на оси кругового тока

Положив =0, получим формулу для напряженности поля в центре кругового витка:

5. Циркуляция вектора .

В электростатике мы ввели понятие циркуляции вектора напряженности как величину равную:

- проекция E на направление касательной к контуру L.

Было показано, что циркуляция вектора Е равна нулю. Физический смысл циркуляции вектора Е - работа по перемещению единичного заряда (F=E при q=1, Edl=A при q=1) по замкнутому контуру. Но в механике было показано, что поле, в котором работа по замкнутому контуру равна нулю, называется потенциальным. Таким образом равенство нулю циркуляции вектора Е говорит о том, что электростатическое поле является потенциальным.

Рассмотрим теперь, чему равна циркуляция вектора индукции магнитного поля. Возьмем контур L, охватывающий прямой ток и вычислим для него циркуляцию вектора :

Рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярной к току. Пусть ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж. Линии напряженности представляют собой окружности, а вектор направлен по касательной к окружности.

-проекция вектора на направление .

Но можно представить в виде:

= , где -расстояние от прямого тока до , - угол, под которым виден элемент контура L из центра окружности.

Интегрируя вдоль всего замкнутого контура L и учитывая, что при этом угол изменяется от нуля до , получим:

Таким образом, циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного бесконечно длинного проводника с током вдоль замкнутого контура, охватывающего проводник численно равна .

Если контур не охватывает проводник с током, то:

Таким образом, если контур тока не охватывает, циркуляция вектора равна нулю.

Мы рассмотрели циркуляцию вектора для случая прямого тока. Но можно доказать что для проводников любой формы и размеров циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равна силе тока в проводнике, охватываемом этим контуром.

Если контур охватывает несколько токов, циркуляция равна их алгебраической сумме.

(*)

Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.

В электротехнике уравнение (*) называется законом полного тока для токов проводимости.

Из сопоставления выражений для циркуляции вектора Е электростатического поля и вектора магнитного поля следует, что между этими полями имеется принципиальное различие. Циркуляция вектора Е равна нулю и электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора отлична от нуля, если контур по которому берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством, называют вихревыми (соленоидальными). Магнитному полю нельзя приписать потенциал, который был бы связан с так же как с Е (Е=-grad).Кроме того линии напряженности электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Линии магнитной индукции всегда замкнуты, что указывает на отсутствие в природе магнитных зарядов.

Закон полного тока имеет для расчета магнитных полей постоянного электрического поля такое же важное значение, как и теорема Гаусса для расчета электростатических полей. В качестве примера рассмотрим применение закона полного тока к расчету магнитного поля соленоида.