Преобразования Лоренца.

Рассмотренные нами на прошлой лекции «классические» преобразования Галилея вступают в противоречие с постулатом постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимосвязанными, образуя единое пространство – время.

Как же найти «правильные» преобразования, удовлетворяющие постулатам Эйнштейна?

Рассмотрим две инерциальные системы, которые мы обозначим К и К' (см.рис.8.1.). Пусть система К' движется относительно системы К со скоростью . Направим оси координат оХ и оХ' вдоль вектора , а оси oY и oY', а также оси oZ и oZ' предположим параллельными друг другу.

Рис 8.1. К выводу преобразований Лоренца.

При указанном на рис.8.1 выборе координатных осей плоскость Y = 0 совпадает с плоскостью Y' = 0, а плоскость Z = 0 - с плоскостью Z' = 0. Отсюда следует, что координаты Y и Y', Z и Z' должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значения других координат и времени. Поэтому Y и Y' могут быть связаны только соотношением вида:

Y = εY' ( ε - const ) ( 8.1 )

Т.к. системы К и К' равноправны, то обратное соотношение должно иметь вид :

Y' = εY ( ε - const ) ( 8.2 )

Из соотношений ( 8.1 ) и ( 8.2 ) следует, что

YY' = ε²* Y'Y ↔ ε² =1; ε = ± 1 ( 8.3 )

Знак плюс в соотношении ( 8.3 ) соответствует одинаково направленным осям Y и Y'.

Для нашего случая (рис.8.1) получим, что :

Y = Y' ; Z = Z' ( 8.4 )

Теперь обратимся к нахождению преобразований для X и t . Из соотношения ( 8.4 ) следует, что X и t могут быть только линейными функциями X' и t'.

В соответствии с рисунком 8.1 начало координат 0 системы К имеет координату X = 0 и X' = - V₀ t' в системе К'. Следовательно, выражение ( X' = V₀ t' ) должно обращаться в нуль одновременно с координатой X. Для этого линейное преобразование координат должно иметь вид :

X = γ ( X' + V_0* t' ) ; ( γ - const ) ( 8.5 )

Аналогично, для системы К' можно записать :

X' = γ ( X - V₀ t ) ( 8.6 )

Из равноправия систем К и К' вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.

Для нахождения коэффициента γ используем 2-ой постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света. Начнём отсчет в обеих системах с того момента, когда их начала координат совпадают. Пусть в момент времени t = t' = 0 в направлении осей X и X' посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране, расположенном в точке с координатой X в системе К и с координатой X' в системе К' ( на рисунке 8.1 это условно обозначено точкой М ). Это событие ( вспышка ) описывается координатой X и моментом времени t в системе К и координатой X' и моментом времени t' в системе К'. При этом в силу постоянства скорости света в системах К и К' должны выполняться соотношения:

Х = c t ; Х' = c t' ( 8.7)

Подставив эти значения Х и Х' в формулы ( 8.5 ) и ( 8.6 ), получим соотношения:

ct = γ( ct^/ + V₀t^/ ) = γ ( c + V₀ ) t

^/

ct^/ = γ (ct – V₀ t ) = γ ( c – V₀ ) t ( 8.8 )

c² = γ² ( c² - V₀² ) ,

откуда окончательно находим выражение для γ и X :

( 8.9 )

; ( 8.10 )

также из соотношений ( 8.5 ), ( 8.6 ) и ( 8.10 ) найдём связь между t и t' :

( 8.11 )

( 8.12 )

Найдём из ( 8.12 ) связь между t и t' :

( 8.13а )

, ( 8.13б )

поскольку имеют место тождества :

. ( 8.14 )

Таким образом, преобразования Лоренца при переходе из системы К в К' будут иметь вид :

Таблица 8.1.

К → К^/		К → К^/
Y = Y^/	( 8.15)	Y^/ = Y	( 8.16 )
Z= Z^/		Z= Z^/

Если в преобразованиях Лоренца ( 8.15 ) и ( 8.16 ) β << 1, т.е. V << c, то мы получаем «классические» преобразования Галилея.

Т.о., преобразования Лоренца удовлетворяют принципу соответствия – преобразования Галилея являются частным случаем преобразований Лоренца при малых скоростях движения.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными и неизменными.

Кроме того, преобразования Лоренца устанавливают взаимосвязь пространства и времени – теория Эйнштейна оперирует не с трёхмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырёхмерное пространство - время.