Основной закон релятивистской динамики материальной точки.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Следовательно, и в релятивистской механике форма основного закона динамики должна быть похожа на основной закон динамики Ньютона:
(
8.28 )
Оказывается, основной закон динамики Ньютона в форме (8.28) инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нём справа стоит производная от релятивистского импульса.
А Эйнштейн показал, что масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:
(
8.29 )
где m0 - масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой частица находится в покое; m - масса частицы в системе отсчёта, относительно которой она движется со скоростью V; с - скорость света. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчёта.
По аналогии с классической механикой, релятивистским импульсом материальной точки называется величина, задаваемая выражением:
,
( 8.30 )
а основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид:
.
( 8.31 )
Необходимо отметить, что само уравнение ( 8.31 ) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Однако, ни импульс, ни сила в этой ситуации не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.
В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется с течением времени.
Анализ показывает, что при V << c уравнение ( 8.31 ) релятивистской механики переходит в уравнение ( 8.28 ) классической механики и « принцип соответствия » выполняется. Таким образом, мы ещё раз убеждаемся в том, что классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).
Закон взаимосвязи массы и энергии.
Найдём кинетическую энергию релятивистской частицы. В классической механике мы имели соотношение, показывающее, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении :
.
( 8.32 )
Учтём,
что
и для релятивистской механики,
поэтому мы
и используем уравнение ( 8.31 ) :
=
. ( 8.33 )
При выводе соотношения ( 8.33 ) мы учли, что :
;
,
( 8.33a )
а также очевидные соотношения:
,
т.к. cos ( V V
) = 1.
( 8.33 б )
Теперь подставим в уравнение ( 8.33 ) соотношение ( 8.29 ), предварительно его продифференцировав:
;
(8.34)
или
.
( 8.35 )
В результате получим тождество:
.
( 8.36 ).
Из этого тождества следует, что приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению её массы.
Теперь проинтегрируем уравнение (8.36), учитывая тот факт, что масса покоящейся частицы равна m0 , а её кинетическая энергия равна нулю:
.
( 8.37 )
Ещё раз используем соотношение ( 8.29 ) для массы релятивистской частицы. С учётом этого соотношения мы можем записать:
.
( 8.38 )
Проанализируем выражение ( 8.38 ) для случая для случая V<<c :