- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 8.
- •Основные постулаты сто
- •Принцип относительности Эйнштейна :
- •Принцип инвариантности скорости света:
- •Преобразования Лоренца.
- •Следствия из преобразований Лоренца.
- •1.Одновременность событий в разных системах отсчета.
- •Длительность собутий в разных системах отсчета.
- •Длина тел в разных системах отсчета.
- •Релятивистский закон сложения скоростей.
- •Основной закон релятивистской динамики материальной точки.
- •Закон взаимосвязи массы и энергии.
- •Разложим в ряд функцию
- •Взаимосвязь массы и энергии , энергии и импульса в релятивистской механике.
Следствия из преобразований Лоренца.
1.Одновременность событий в разных системах отсчета.
Пусть в системе К в точках с координатами X1 и X2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты х1' и х2' , и соответственно, моменты времени t1' и t2 ' .
Если события в системе К происходят в одной точке ( х1 = х2 ) и являются одновременными ( t1 = t2 ), то эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета, поскольку х1' = х2' и t1' = t2 ' .
Если же события в системе К пространственно разобщены ( х1 ≠ х2 ), но одновременны ( t1 = t2 ), то в системе К' эти события останутся пространственно разобщёнными (х1' ≠ х2' ) и окажутся к тому же неодновременными ( t2' ≠ t1' ).
Однако, порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Длительность собутий в разных системах отсчета.
Пусть в системе К в некоторой точке с координатой X, покоящейся относительно системы К, происходит событие длительностью τ = t2 - t1 .
Длительность этого же события в системе К' будет соответственно равна τ/ = t2' - t1' . Используя преобразования Лоренца, получим, что:
( 8.17 )
Длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой эта точка неподвижна.
Пример: Часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчёта, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчёта, относительно которой часы движутся.
Длина тел в разных системах отсчета.
Опять рассмотрим системы К и К'. Система К' движется относительно системы К со скоростью V0 .
Пусть в системе К' покоится стержень длиной l0/ = х2' - х1' , где х2' и х1' - не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня ( индекс 0 относится к покоящемуся стержню ).
Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V0 , в один и тот же момент времени t :
( 8.18 )
Длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Т.о. линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения ( т.н. лоренцево сокращение длины ).
Релятивистский закон сложения скоростей.
Механику, основанную на постулатах Эйнштейна и преобразованиях Лоренца, в отличие от « классической » механики принято называть релятивистской ( от слова relativ – отношение ).В общем случае законы движения материальных тел в релятивистской механике существенно отличаются от законов ньютоновой механики. Рассмотрим, например, как изменится закон сложения скоростей при использовании 2-ого постулата Эйнштейна о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах отсчёта.
Рассмотрим движение материальной точки в системе К', которая движется относительно системы К со скоростью V ( при этом необходимо отметить, что система К движется относительно системы К/ со скоростью V0 ! ) . Определим скорость этой же точки в системе К. Пусть в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' – координатами х',у',z'. Выражения :
( 8.19 )
представляют собой проекции на оси х, у, z вектора скорости точки относительно системы К, а выражения
( 8.20 )
проекции на оси х',у',z' вектора скорости точки относительно системы К'.
Используем уже известные нам из преобразований Лоренца соотношения (система К' движется по отношению к системе К так, как показано на рис.8.1.)
; Y = Y/ ; Z= Z/ ; .
Ещё раз отметим, что в этих соотошениях β = V0 / c .
Если в этих соотношениях перейти от переменных к их приращениям, т.е. х dх и так далее, то формально ничего не изменится, поэтому:
; dY = dY/ ; dZ= dZ/ ; ( 8.21 )
Разделим первые три равенства на четвёртое:
( 8.22 )
( 8.23 )
( 8.24 )
Если тело движется параллельно оси 0х, его скорость V относительно системы К совпадает с V , а скорость V' относительно системы К' – со скоростью V' (остальные компоненты скоростей равны нулю). В этом случае закон сложения скоростей будет иметь вид:
. ( 8.25 )
Если V0 << с, то V = V' + V0 - получаем «классический» закон сложения скоростей из Ньютоновой механики. Видим, что предельный переход или принцип соответствия выполняется.
Пусть теперь имеет место другой предельный случай, когда V' =с - частица в системе К' движется со скоростью света ( с максимально возможной скоростью ). В этом случае, даже если система К' движется относительно системы К со скоростью V0 , мы будем иметь:
( 8.26 )
- выполняется 2-й постулат Эйнштейна. Даже если V =с (ещё один предельный случай!), то получим:
( 8.27 )
-
результирующая скорость V не может превысить с !