Разложим в ряд функцию

. ( 8.39 )

Тогда вместо уравнения ( 8.38 ) релятивистской механики получим «классическое» выражение для кинетической энергии материальной частицы:

( 8.40 )

- принцип соответствия и здесь удовлетворяется.

Взаимосвязь массы и энергии , энергии и импульса в релятивистской механике.

Уравнение ( 8.36 ) мы получили для кинетической энергии релятивистской частицы. Но А.Эйнштейн обобщил это соотношение, предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии, но и для полной энергии, т.е. что масса релятивистской частицы возрастает не только при сообщении ей кинетической энергии, но и при любом увеличении её полной энергии, независимо от того, за счёт какого вида энергии это увеличение произошло.

Если полная энергия тела увеличивается на dE , то его релятивистская масса увеличивается на величину

. ( 8.41 )

Проинтегрируем выражение ( 8.41 ) :

. ( 8.42 )

В выражении ( 8.42 ) необходимо положить const = 0, поскольку в противном случае оно будет неинвариантно относительно преобразований Лоренца.

Уравнение ( 8.42 ), как и уравнение ( 8.41 ) выражает фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению её массы на квадрат скорости света в вакууме. При этом необходимо учитывать, что в полную энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Выражение ( 8.42 ) можно переписать иначе , используя выражение для кинетической энергии ( 8.38 ):

, ( 8.43 )

откуда следует, что покоящееся тело, не обладающее кинетической энергией (Е_кин. =0 ) обладает тем не менее энергией Е₀ = m₀ c² , называемой энергией покоя.

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, восполняется закон сохранения энергии : полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Но суммарная масса покоя системы взаимодействующих частиц не сохраняется.

Теперь найдем связь между энергией релятивистской частицы и её импульсом, используя выражение для полной энергии ( 8.42 ) и выражение для импульса ( 8.30 ) :

Возведём в квадрат выражение для полной энергии

. ( 8.44 a )

поскольку , то получим соотношение :

. ( 8.44 б )

Но из выражения ( 8.30 ) следует, что , так что :

( 8.44 в )

Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, что она потребовала пересмотра многих установившихся и ставших "привычными" представлений – зависимость массы тела от его скорости, относительность понятия длины тела и длительности событий, взаимосвязь массы и энергии.

Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи – пространство – время ( пространственно – временной континуум ). В релятивистской механике только пространственно- временной интервал между двумя событиями

= . ( 8.45 )

является абсолютным, т.е. инвариантом при переходе из одной системы координат в другую, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия, являются выражением объективно существующих пространственно – временных соотношений движущейся материи.