Резонанс.

Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний А_вын. от частоты ω_вын.. Чтобы определить резонансную частоту ω_рез. - частоту при которой амплитуда А_вын. вынужденных колебаний достигает максимума, исследуем на экстремум выражение ( 10.34 ). Для этого приравняем нулю первую производную функции А_вын. (ω_вын. ) по частоте:

, ( 8.36 а )

что эквивалентно уравнению:

( 10.36 б ).

Это равенство выполняется при ω_вын. = 0 и ω_вын. = , поскольку имеет смысл только положительное значение частоты, а затухание мало по условию. Следовательно, резонансная частота будет равна:

ω_рез. = , ( 10.37 ).

где ω₀ - частота свободных колебаний системы ( еще употребляется термин «собственные колебания »).

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, называется механическим резонансом. При малых потерях ω_рез. ≈ ω₀ .

Подставив значение ω_рез. из ( 10.37 ) в уравнение ( 10.34 ), получим, что:

. ( 10.38 ).

Из выражения ( 10.37 ) и ( 10.38 ) следует, что чем меньше коэффициент затухания δ , тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой, выражающей зависимость А _рез. от ω _вын. ( см. соотношение ( 10.38 ) и рис. 10.7 ).

Рис. 10.7. Резонансные кривые при механическом резонансе

(рис. 210 из Трофимовой).

Из уравнения ( 10.34 ) следует, что при ω _вын. → 0 все кривые достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения:

. ( 10.39 ).

Это значение называют статическим отклонением. При ω_вын. → ∞ все резонансные кривые стремятся к нулю – система не реагирует на внешние воздействия.