Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты  , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей оХ и оУ.

Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:

, ( 10.8 а ).

где  - разность фаз обоих колебаний, А и В – амплитуды складываемых колебаний.

Исключим из выражения ( 10.8 ) параметр t:

( 10.8 б )

Учтем, что и получим:

. (10.8 в ).

После преобразований получим:

;

;

. ( 10.9 )

Уравнение ( 10.9 ) есть ни что иное, как уравнение эллипса, оси которого координированы относительно координатных осей произвольно.

Т.к. полученная нами траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Рассмотрим некоторые частные случаи решения уравнения ( 10.9 ) в зависимости от значения  :

1) Случай  =m  ( m = 0, 1, 2, 3, ) .

В этом случае уравнение эллипса вырождается в уравнение прямой:

( 10.10 ).

Рис.10.3. Случай вырождения эллипса в отрезок прямой: а) m = 0,  2; 4; …..

б) m =  1; 3; ………( рис. 205 из Трофимовой ).

Возможные случаи вырождения приведены на рис. 10.3. Знак плюс уравнение ( 10.10 ) соответствуют значениям m = 0,  2; 4; … ( рис. 10.3 а ), а знак минус – нечетным значения m =  1; 3; …. Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой равной , совершающимся вдоль прямой ( 10.10 ), составляющий с осью оХ угол  =

= .

В данном случае говорят, что имеют место линейно поляризованные колебания.

2) Случай  = ( 2m + 1 )  / 2 ( m = 0, 1, 2, 3, ) .

В этом случае уравнение (10.9) примет вид:

. ( 10.11 ).

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам ( см. рис. 10.4 а ). Кроме того, если А=В, то эллипс ( 10.9 ) вырождается в окружность ( см. рис.10.4 б ). Про такие колебания говорят, что это циркулярно поляризованные колебания или колебания, поляризованные по кругу.

В общем случае, когда различны и амплитуды, и фазы, и частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний, замкнутая траектория результирующего колебания, может быть довольно сложной.

Рис 10.4 Случай циркулярно поляризованных колебаний или колебаний поляризованных по кругу : а) эллиптическая поляризация; б) круговая поляризация.

( Рис. из Трофимовой. С. )

Замкнутые траектории, прочерченные точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Наиболее просто и наглядно наблюдать фигуру Лиссажу с помощью осциллографа, подавая на вертикальные пластины сигнал одной частоты, а на горизонтальные другой, предварительно отключив генератор развертки.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих

колебаний и его решение. Автоколебания.

В условиях, когда на тело действует только квазиупругая сила, оно, как мы уже знаем, будет совершать незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой А=const. На реально же движущиеся тела со стороны окружающей среды всегда действуют силы трения, препятствующие их движению. Вследствие этого механическая энергия колеблющегося тела будет непрерывно уменьшаться соответственно будет уменьшаться амплитуда колебаний и они станут затухающими.

Полная сила , действующая на колеблющуюся точку будет в этом случае суммой квазиупругой силы и силы трения . При малых скоростях движения сопротивление среды ( газы и жидкости ) пропорциональны первой степени скорости и направлено противоположно вектору скорости ( т.н. линейные системы ):

Fтр.= -rV; r=const, (10.12).

где r- коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров тела. Уравнение, описывающее колебательное движение тела с учетом трения будет, следовательно, иметь вид ( движение вдоль оси оХ ):

. ( 10.13 ).

Вообще говоря, если S- колеблющаяся величина, описывающая тот или иной процесс с линейными потерями, то дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний задается в "стандартном" виде:

, ( 10.14 ).

где S- колеблющаяся величина (параметр),  =const - коэффициент затухания, ₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы в отсутствие сил трения ( т.е. при  = 0 ) или собственная частота колебательной системы.

Не вдаваясь в подробности теории решения линейных дифференциальных уравнений, запишем решение уравнения ( 10.14 ) в виде:

( 10.15 ).

где А₀ е^{- t} – зависящая от времени амплитуда затухающих колебаний, А ₀ – начальная амплитуда ( в момент времени t = 0 ), - циклическая частота затухающих, а не свободных колебаний. Строго говоря, затухание нарушает периодичность колебаний, и затухающие колебания не являются периодическими, однако, если затухание мало, т.е. выполняются условия δ « ω₀ , то можно условно пользоваться понятием периода, как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины ( см. рис. 10.5 ).

Рис. 10.5. График свободных затухающих колебаний (рис. 208 из Трофимовой).

. ( 10.16 )

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение A(t)/A(t+T) = называется декрементом затухания.

Величина

, ( 10.17 )

называется логарифмическим декрементом затухания. Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации:

( 10.18 ).

Величина - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды колебаний в е раз.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента затухания равна :

, (10.19).

( т.к. затухание мало, то Т принято равным Т₀ ).