8. Схема выбора с возвращением (перестановки, сочетания и размещения с повторением).

Перестановкой из n-элементов наз.- размещение из элементов по n-элементов.

Рn=n!

ПР: Сколькими способами можно рассадить 5 человек по 5 местам.

P5=5!=12345=120

Если n-это v-выборки, n1=количество элементов 1-го вида, n2-количество элементов 2-го вида, nn-кол-во элем.n-го вида., то перестановкой

Рn(n1,n2,….nn)=n!/n1!n2!....nn!

ПР: Сколько различных четырех знатных номеров для машин можно составить из цифр:2,1,0,9,2.

N=5

n1=2; n2=1; n3=1; n4= 1; n5=1. Р₅=5!/2!*1!*1!*1!=5!/2!.

Выборка с возвращения и без упорядочивания (Схема выбора проводящая к сочетанию, но с повторением)Суть выборки из n-элементов выбирает m-элемент выбирают с возвращения и без упорядочивания следования элементов.

Число сочетаний из n-элементов опред. След. Фор.

Схема выбора с возвращением (перестановки, сочетания и размещения с повторением).

Из 10 цифр от 1до 10 выбирают 4 числа с возвращением.

n=10 m=6

С⁴₁₀ =(10+4-1)!/4!*(10-1)! =13!/4!*9!=5*11*12*13/1234=5*11*13=715

10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10

Выборка с возвращения и c упорядочивания .

Суть выборки из n-элементов выбирает m-элемент выбирают с возвращения , но с упорядочивания следования элементов.

Число размещения из n-элементов по m-элементам опред. След. Фор.

ПР: Сколько способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам.

А⁷₉=9⁷

9.Теоремы сложения вероятности.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (если события А и В совместны): Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пусть А₁, А₂…А_n несовместные, то вероятность их суммы: Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на

верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне вто­рой монеты" являются совместными.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарнонесовместны.

10.Теорема умножения вероятности.

Теорема: вероятность появления двух независимых событий равна произведению этих событий. P(A+B)=P(A)*P(B).

Теорема: вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

P( )

Теорема: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло. P(AB)= P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на

верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне вто­рой монеты" являются совместными.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарнонесовместны.

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары,ТО событие "из ящика извечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся n голубых и т красных шаров, одинаковы по размеру и весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары). Случайными событиями являются "герб" и "цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании", "попадание и промах при стрельбе по мишени", "выигрыш по билету лотереи" и Т.П.