Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

16.1. .

16.2. .

16.3. .

16.4.

16.5. .

16.6. .

16.7. .

16.8. .

16.9. .

16.10. .

16.11. .

16.12.

Лекция 16 (продолжение). Задача о напряженном состоянии элемента вооружения долота режущего действия

Методами аналитической механики исследуем динамику одношарошечного долота. Выведем волновое уравнение для зуба долота.

Для этого рассмотрим колебания консоли (зуба), представляющей правильную усеченную пирамиду, при дискретном приложении нагрузки к ее вершине. Нагрузка действует вдоль оси симметрии консоли. Основа­ние консоли защемлено.

В уравнении используем следующие обозначения:

S(х) — площадь сечения консоли плоскостью, перпендикулярной к ее оси;

2а(х) — сторона квадрата площади сечения консоли;

2b — сторона квадрата площадки затупления консоли;

2φ - угол при вершине;

h — высота;

Е — модуль Юнга;

ρ — плотность;

и(х,t) —отклонение сечения консоли с ординатой х в момент време­ни t.

Рассмотрим упругую деформацию участка консоли (х, х+dx) в момент времени t.

Смещение в точке х будет и, а в точке х +dх составит .

Относительное удлинение консоли в точке с ординатой х равняется , и натяжение, согласно закону Гука, будет Т = ЕS . Натяжение зуба в сечении с ординатой х+dх будет ЕS . Равнодействующая сил натяжения, действующих на участке dх, будет равна

ЕS(x) -ЕS(x) =

Ввиду незначительных геометрических размеров и малой массы пренебрегаем массовыми силами, действующими на консоль.

Согласно второму закону Ньютона,

Переходя к пределу при , получаем уравнение продольных колебаний консоли

Делим обе части равенства на ρS и обозначив

Е/ ρ = а²,

(где b- сторона площадки притупления зуба; h – высота зуба; φ – половина угла заострения), получим уравнение

(16п.1)

Для этой задачи характерны начальные условия вида

(16п.2)

и граничные условия

(16п.3)

где (dτ - время возмущения; Q(τ) — закон деформирования вершины зуба при контакте с забоем (функция, зависящая от механических свойств породы и конструктивных особенностей долота); η(t-τ) - "этта"-функция, имеющая следующий вид:

. (16п.4)

Задача решается методом Дюамеля. Первоначально находится ре­шение при Q(τ) = 1. Решение будем искать в виде суммы функций

. (16п.5)

где функция V (х) описывает стационарный колебательный процесс, а функция Р(х,t) - отклонение от него.

Для V(х) задача ставится следующим образом:

(16п.6)

Для Р(х,t)

(16п.7)

Сначала решим стационарную задачу (16п.6). Для нахождения общего решения уравнения (16п.6) понизим его порядок, введя новую функцию Z = V_x, тогда уравнение (16п.6) принимает вид

или

. (16п.8)

Для нахождения С₁ и С₂ воспользуемся граничными условиями

Подставив найденные С₁ и С₂ получим решение задачи (16п.6)

.

Уравнение (16п.7) будем решать методом Фурье, т.е. искать решение в виде

(16п.9)

После разделения переменных получим краевую задачу Штурма — Лиувилля

(16п.10)

и уравнение

. (16п.11)

Рассмотрим уравнение (16п.10) и его решение будем искать в виде

, (16п.12)

и вычислив первую и второю производные

и ,

После подстановки в уравнение (16п.10) получим уравнение

или

. (16п.13)

В полученном уравнении член с первой производной исчезнет только в том случае если коэффициент при ней будет равен нулю, т.е.

.

Пусть С₁ = 1, тогда

, (16п.14)

Подставив (16п.14) в (16п.13), получим

(16п.15)

Вычислим от этой функции производные первого и второго порядка

и ,

а затем подставим в (16п.10)

или

или

(16п.16)

это дифференциальное уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами, поэтому его решение будет иметь вид

, (16п.17)

Подставив это решение в (16п.15), получим

. (16п.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий

.

,

Таким образом, решение (16п.18) можно записать следующим образом при С₁ = 1

(20)

Теперь решим уравнение (16п.11)

,

которое является линейным однородным с постоянными коэффициентами, поэтому его решение будет иметь вид

, (16п.21)

Следовательно, решение (12) будет равно

, (16п.22)

Коэффициенты С_п и D_n определяем из начальных условий

Это выражение представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам на интервале от 0 до h, следовательно, коэффициент С₁ представляет собой коэффициент ряда Фурье, определяемый по формуле

,

Вычисляя этот интеграл, получим

Следовательно,

(16п.23)

Удовлетворим второму начальному условию

(16п.24)

Вычислим от функции (22) производную по t

и удовлетворим условию (16п.24)

,

следовательно, все D_n = 0, и решение задачи (16п.7) имеет вид

.

Таким образом, подставляя в решение (16п.5) значение (16п.23) получим

. (16п.25)

Решением исходной задачи будет функция

или

. (16п.26)

При этом было использовано уравнение

, (16п.27)

где δ — функция Дирака, а

. (16п.28)

Подставляя в выражение (16п.26) значение R(х,t) получаем оконча­тельное решение:

(16п.29)

(n = 1,2,3,...).

Формула (16п.29) позволяет получать численные значения деформации любой точки зуба во времени. Зная конструктивные параметры долота и скорость его вращения (т.е. зная промежуток времени между двумя ударами зуба по забою), можно подсчитать число колебательных знакопеременных движений точек зуба за время t и оценить число циклов до момента усталостного разрушения, т.е. оценить допустимое время работы зуба.