Лекция 17 (продолжение). Расчет глубины промерзания связанных горных пород

Рассмотрим случай промерзания связной горной породы при открытой разработке месторождений.

Сформулируем задачу: на поверхности полупространства в момент времени t=0 устанавливается отрицательная температура Т_в, равная температуре внешней окружающей среды. В процессе промерзания связной породы образуется промерзший слой переменной толщины h = f(t). Нижняя граница этого слоя всегда имеет температуру замерзания влаги Т^. На этой границе происходит фазовый переход «вода-лед», при котором выделяется теплота перехода L_ф, Дж/кг. На глубине залегания нейтрального слоя Н₀ температура всегда постоянна и равна примерно 277 К (4°С). Обозначим эту температуру через Т₀. Кроме этого, условимся обозначать в этой задаче параметры промерзшей связной породы — индексом 1 и талой — индексом 2.

Для описания распределения температурного поля в системе «промерзшая связная порода - талая порода» воспользуемся моделью, изображенной на рис. 17.1.

T_B

Рис. 17.1. Тепловая модель «промерзший грунт — талый грунт»

Математически задачу можно сформулировать следующим об­разом: решить дифференциальные уравнения теплопроводности

при 0<х<h (17п.1)

при h <х<∞ (17п.2)

при следующем начальном условии

Т₁│_t=0 = Т_В =соnst (17п.3)

Т₂│_t=0 = Т₀ (17п.4)

и граничных условиях

Т₁│_x=0 = Т_В (17п.5)

Т₁│_x=h = Т₂│_x=h =Т*=соnst (17п.6)

(17п.7)

где а — температуропроводность грунта, м²/с;

λ — его теплопроводность, Вт/ (м·К);

L_ф – теплота фазового перехода «вода-лед», Дж/кг;

W — влажность грунта, кг/кг;

γ_n — его плотность, кг/м .

Для решения этой задачи воспользуемся преобразованием Больцмана, сделав замену переменной по правилу

. (17п.8)

Вычислим сначала производные, входящие в уравнение (17п.1) в новых переменных

Подставим найденные производные в уравнение (17п.1)

или

Понизим порядок полученного уравнения, положив что , тогда получим однородное линейное уравнение первого порядка

,

разделив в нем переменные

,

и интегрируя, получим

, (17п.9)

где С₁ = const.

Интегрируя далее (17п.9), получим

(17п.10)

Стоящий в правой части интеграл является интегралом ошибок и обозначается следующим образом

.

Эта специальная функция часто встречается в различных задачах и поэтому затабулирована, как и ее производные и интеграл от нее. В частности и .

В общем виде эта функцию записывают

и для малых значений z имеет место разложение

,

а при больших z справедлива асимптотическая формула

.

Возвращаясь в решение (17п.10) к переменным x и t запишем общее решение уравнения (17п.1)

(17п.11)

Общие решения дифференциального уравнения (17п.2) находится аналогичным образом и имеет вид:

(17п.12)

Подставляя граничное условие (17п.5) в (17п.11), получим:

Т₁│_x=0 = A₁+ B₁erf = A₁+ B₁erf0= = A₁= Т_В

откуда

A₁= Т_В (17п.13)

Подставляя начальное условие (17п.5) в уравнение (17п.12), пол­учим:

Т₂│_t=0 = A₂+ B₂erf = A₂+ B₂erf∞= = A₂+ B₂= Т₀

откуда

A₂= Т₀ – B₂. (17п.14)

С учетом (17п.13) и (17п.14) общие решения (17п.11) и (17п.12) примут вид:

Т₁= Т_В + B₁erf , (17п.15)

Т₂=Т₀-В₂+B₂erf = Т₀ – B₂ = Т₀-B₂erfc , (17п.16)

где

Согласно (17п.6) на глубине промерзания Т₁ = Т₂ = Т^, поэтому уравнения (17п.15) и (17п.16) при х = h примут вид

Т₁= Т_В + B₁erf = Т* = const, (17п.17)

Т₂ = Т₀ – B₂erfc =Т*= const (17п.18)

Так как величины Т_в, Т₀, Т^ , а₁ и а₂ есть некоторые постоянные, то уравнения (17п.17) и (17п.18) будут справедливы в том случае, если будет выполняться условие

(17п.19)

или

, (17п.20)

где β — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость углубления зоны промерзания, м/ .

Подставляя (17п.20) в (17п.17) и (17п.18), получим:

Т₁= Т_В + B₁erf = Т_В + B₁erf = Т* (17п.21)

Т₂ = Т₀ + B₂erfc = Т₀ + B₂erfc =Т* (17п.22)

Из (17п.21) и (17п.22) соответственно получим

В₁= , (17п.23)

В₂= . (17п.24)

Подставляя (17п.24) в (17п.14) получим

Подставляя (17п.23), (17п.24) и значение А₂ соответственно в (17п.15) и (17п.16), получим уравнения для оценки поля температур

• в промерзшей зоне

Т₂= Т_В +(Т*- Т_В) (17п.25)

• в талой зоне

Т₃= Т₀ -( Т₀-Т*) (17п.26)

В уравнениях (17п.25) и (17п.26) неизвестен параметр β. Его оп­ределим из условия (17п.7). Прежде чем перейти к определению β приведем несколько преобразований, которые понадобятся в даль­нейшем:

(17п.27)

(17п.28)

При x=h граничное условие (17п.7) примет вид

(17п.29)

Возьмем отдельно производные и , входящие в уравнение (17п.29), с учетом значений

Т₁= Т_В +(Т*- Т_В) и Т₂= Т₀ -( Т₀-Т*)

(17п.30)

При x=h= выражение (17п.30) примет вид:

(17п.31)

Аналогично

(2.32)

При x=h= выражение (17п.32) примет вид:

(2.33)

Правая часть уравнения (17п.29) при x=h= станет равной

(17п.34)

Подставляя (17п.31), (17п.33), (17п.34) и (17п.29), получим

(17п.35)

Умножив обе части выражения на , получим конечное трансцендентное уравнение для определения коэффициента β

(17п.36)

Определив β из (17п.36) как функцию λ₁, а₁, λ₂, а₂, Т^, Т_в, Т₀, L_ф, W и γ_n, и принимая во внимание, что h= , можно определить глубину промерзания грунта. Кроме этого, зная β, согласно (17п.25) и (17п.26) можно определить распределение температурного поля соответственно в промерзшей и талой зонах грунта.

Если влажность грунта незначительна, и ею можно пренебречь, то при граничных условиях первого рода решение уравнения теплопроводности для промороженной зоны имеет вид

(17п.37)

При х= h из выражения (17п.37) имеем

(17п.38)

Для глин и суглинков Т^ ≈ -1°С и а₂ ≈ 0,003÷0,01 м /с.

На основании выражения (17п.38) можно определить (прибли­женное) значение глубины промерзания грунта без учета теплоты фазового перехода «вода-лед». Истинное значение глубины промер­зания будет во столько раз меньше расчетного, во сколько теплота фазового перехода «вода-лед» в единице объема грунта больше теп­лоты охлаждения от температуры Т₀ до Т_в.

Задавшись допустимой глубиной промерзания и используя таб­лицы для определения функции erfc(u), можно по формуле (17п.38) рассчитать время промораживания грунта на эту глубину.

Если суточные колебания температуры окружающей среды до­стигают 10°С, то на основании (17п.38) можно показать, что

≈ 1. (17п.39)

При этом время, по истечении которого наступит установив­шийся режим, будет примерно равно 1 ч.

В случае, когда суточные колебания температуры составляют 3-5°С,

≈ 0,1. (17п.40)

Время наступления установившегося режима при этом будет равно примерно 10 ч.