- •Часть 2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Лекция 11. Уравнения в частных производных первого порядка
- •11.1. Линейные и квазилинейные уравнения
- •11.2. Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики
- •11.3. Решение задачи Коши
- •12.2. Уравнение колебаний стержня
- •12.3. Уравнение теплопроводности и диффузии
- •12.4. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •Лекция 13. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка, приведение их к каноническому виду и нахождение общего решения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 14. Начальные и граничные условия
- •14.1. Начальные условия
- •14.2. Краевые задачи
- •Лекция 15. Решение задачи коши для волнового уравнения
- •15.1. Решение задачи Коши методом Даламбера
- •15.2. Решение задачи Коши для волнового уравнения методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16. Решение граничных задач волнового уравнения
- •16.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны
- •16.2. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения вынужденных колебаний струны
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16 (продолжение). Задача о напряженном состоянии элемента вооружения долота режущего действия
- •Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений
- •17.1. Методы решения задачи Коши
- •Задания для самостоятельной работы
- •17.2. Методы решения граничных задач
- •Лекция 17 (продолжение). Расчет глубины промерзания связанных горных пород
- •Лекция 18. Стационарные уравнения. Уравнение лапласа и методы его решения
- •18.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
- •18.2. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 19. Уравнение неразрывности и уравнения эйлера
- •19.1. Гипотеза сплошности
- •19.2. Установившееся и неустановившееся движения.
- •19.3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •19.4. Закономерности распространения плоских упругих волн
- •Лекция 20. Закономерности преломления и отражения плоских упругих волн на плоскости контакта твердых тел
- •Часть 4. Преобразование лапласа и его применение при решении дифференциальных уравнений Лекция 21. Преобразование лапласа
- •21.1. Преобразование Лапласа
- •21.2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •21.3. Свертка функций
- •21.4. Оригиналы с рациональными изображениями
- •21.5. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)
- •21.6. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности
- •Лекция 22. Практическое применение преобразования лапласа
- •22.1. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •22.2. Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных
- •Лекция 23. Миграционная подмодель радиогеоэкологической модели подземного регионального хранилища радиоактивных отходов и ядерных материалов
- •Вопросы к экзамену по дисциплине: «Дифференциальные уравнения в горном деле»
Часть 4. Преобразование лапласа и его применение при решении дифференциальных уравнений Лекция 21. Преобразование лапласа
21.1. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа это такое преобразование, которое ставит в соответствие комплекснозначной функции действительного переменного некоторую функцию комплексного переменного с помощью следующего соотношения
. (21.1)
Интеграл, стоящий в правой части, называют интегралом Лапласа функции . При этом эта функция должна удовлетворять следующим условиям:
1. задана на множестве действительных чисел (на числовой прямой) R, причем для всех функция ;
2. при функция на любом ограниченном промежутке имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;
3. существуют такие числа и , что для всех функция является ограниченной - , причем точная нижняя граница числа равна числу ( ), которое называется показателем степени роста функции , следовательно, можно констатировать, что функция в данном случае имеет ограниченный рост.
Если функция имеет ограниченный рост, то является аналитической функцией комплексного переменного в полуплоскости Re , где - показатель степени роста функции , который еще называют абсциссой абсолютной сходимости интеграла Лапласа .
Резюмируя сказанное можно утверждать:
- комплекснозначная функция , непрерывная на интервале , за исключением изолированных точек, и имеющая ограниченный рост, называется оригиналом;
- аналитическая функция комплексного переменного , определенная формулой (21.1) при Re , называется изображением оригинала .
Преобразование Лапласа (21.1) схематично можно записать в виде
≒ .
Употребляется также обозначение вида
,
где - знак преобразования Лапласа.
Замечания.
1. Если функция является оригиналом, то и также будет оригиналом с тем же показателем роста.
2. Если функции , ,…, , являются оригиналами, то их линейная комбинация также будет оригиналом. Если функция является оригиналом, то функции ( - положительное число), , ( – действительное число), ( - комплексное число) тоже будут оригиналами.
3. Можно утверждать, что если комплекснозначная функция является оригиналом, то функция , определяемая выражением
будет непрерывным на интервале оригиналом.
Непрерывность функции следует из абсолютной интегрируемости функции на каждом сегменте , где . Далее, если – показатель степени роста функции , а – положительное число больше , причем ( Re ), то в случае, когда имеем:
откуда следует, что интеграл сходится, а функция является оригиналом.
4. Если функция комплексного переменного , определенная формулой (21.1) является изображением, то при Re следует, что .
21.2. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Однородность. Если ≒ , то ≒ ( - любое комплексное число).
Действительно,
.
Следовательно, ≒ .
2. Аддитивность. Если ≒ и ≒ , то
≒ .
Действительно,
.
Следовательно, ≒ .
3. Подобие. Если ≒ , то ≒ .
Действительно,
.
Следовательно, ≒ .
4. Дифференцирование оригинала. Если функция непрерывно дифференцируема на интервале является оригиналом и существует конечный предел - , а также, если есть то же оригинал, то из ≒ следует:
≒ .
Действительно, интегрирование по частям дает при
.
Если Re больше показателей роста функции и ее производной , то оба интеграла стремятся к конечным пределам при , следовательно, с учетом того, что интеграл вида не может абсолютно сходиться, если функция при стремится к пределу, отличному от нуля, стремится к конечному пределу, но этот предел не может быть отличен от нуля. Следовательно, в пределе при получим
.
4.1. Обобщение. Если функция раз непрерывно дифференцируема на интервале является оригиналом и все ее производные до -го порядка включительно – , ,…, , то же есть оригиналы, а также существуют конечные пределы - , , ,…, , то из ≒ следует:
≒ .
Для доказательства существования изображения производной -го порядка используется свойство 4 по индукции.
5. Дифференцирование изображения. Если ≒ , то
≒ .
Действительно,
Следовательно, ≒ .
5.1. Обобщение. Если ≒ , то ≒ .
Для доказательства этого утверждения используется метод индукции по свойству 5.
6. Интегрирование оригинала. Если функция являющаяся оригиналом, непрерывна на интервале и имеет изображение , то
≒ .
Действительно, если функция является оригиналом, которому соответствует изображение , т.е. ≒ , тогда и по свойству 4 следует, что ≒ , следовательно,
или = .
7. Интегрирование изображения. Если функция является оригиналом, а также является оригиналом , то из ≒ следует:
≒ .
Действительно, если ≒ , тогда по свойству 5 ≒ , следовательно, . Интегрируя полученное равенство в пределах от до , найдем:
,
следовательно, с учетом того, что Re следует, что , получим:
.
8. Запаздывание. Если ≒ , то ≒ ( – любое положительное число).
Действительно,
9. Умножение оригинала на показательную функцию (смещение изображения). Если ≒ , то ≒ ( - любое комплексное число).
Действительно,