Задания для самостоятельной работы
Решить задачу Коши
15.1.
.
15.2.
.
15.3.
.
15.4.
.
15.5.
.
15.6.
.
15.7.
.
15.8.
.
15.9.
.
15.10.
.
15.11.
.
15.12.
.
15.13.
.
15.14.
.
15.15.
.
15.16.
Лекция 16. Решение граничных задач волнового уравнения
16.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны
Определим закон свободных колебаний однородной струны размером l (0<x<l, t>0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) заданы смещение равное φ(x) и его скорость равная ψ(x). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом
, (16.1)
(16.2)
. (16.3)
Будем искать нетривиальные частные решения уравнения (16.1), удовлетворяющие условиям (16.2) и (16.3), в виде произведения двух функций, зависящих только от одного аргумента X=X(x) и T=T(t), а именно
, (16.4)
Вычислив производные от (16.4) и, подставив их в уравнение (16.1), получим
(16.5)
или
. (16.6)
Равенство (16.6)
выполняется только в том случае, если
обе части его не зависят ни от х,
ни от t,
т.е. представляют собой одну и туже
постоянную, которую обозначим за
,
т.е.
. (16.7)
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка
(16.8)
и
.
(16.9)
Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (16.4), удовлетворяющие граничным условиям (16.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
.
(16.10)
Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра которые, назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (16.9), которые соответствуют этим собственным значениям, назовем собственными функциями, удовлетворяющие граничным условиям (16.10). Задачу отыскания собственных значений и собственных функций называют задачей Штурма-Лиувилля.
Рассмотрим три случая задачи (16.9), (16.10)
1) <0.
В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид
,
удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим
2) =0.
В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид
,
удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим
.
3) >0.
В этом случае общее решение уравнения (16.9) имеет вид
,
удовлетворяя граничным условиям (16.10), получим
.
В уравнении
постоянная С2 не может быть
равной нулю, поскольку в этом случае,
мы получим тривиальное решение задачи
(16.9), (16.10) - Х(х) ≡ 0. Поэтому для
того, чтобы равенство
выполнялось необходимо, чтобы выполнялось
равенство
,
а оно выполняется только тогда, когда
(n-любое
целое число). Следовательно, нетривиальное
решение задачи (16.9), (16.10) возможно лишь
при собственных значениях n
равных
. (16.11)
Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида
, (16.12)
которые будут являться нетривиальными решениями задачи (16.9), (16.10).
Собственные значения (16.12) подставим в уравнение (16.8)
. (16.13)
Общее решение этого уравнения имеет вид
. (16.14)
Подставляя функции (16.12) и (16.14) в (16.4), найдем
, (16.15)
где an и bn – произвольные постоянные.
Эта функция удовлетворяет уравнению (16.1) и граничным условиям (16.3) при любых коэффициентах ak и bk. В силу линейности и однородности уравнения (16.1) всякая конечная сумма решений (16.15) также будет решением уравнения (16.1), поэтому можно записать
. (16.16)
Для определения значений постоянных an и bn необходимо воспользоваться начальными условиям (16.2). Удовлетворяя в решении (16.16) первому из условий (16.2), получим
. (16.17)
Это равенство представляет собой разложение функции φ(x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная an является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле
. (16.18)
Для определения коэффициента bn, вычислим производную по t от функции (16.16)
,
и удовлетворим в решении (16.16) второму из условий (16.2), в результате получим
. (16.19)
Это равенство представляет собой разложение функции ψ(x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная bn является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле
. (16.20)
Таким образом, ряд (16.16) полностью определяет решение исходной краевой задачи (16.1)-( 16.3).
Пример 16.1. Определить закон свободных колебаний однородной струны единичного размера (0<x<1, t>0), для которой в начальный момент времени (при t = 0) начальное смещение равно нулю, а его скорость равна x=(1-х). При этом концы струны жестко закреплены. Математически эту задачу можно записать следующим образом
, (П16.1.1)
, (П16.1.2)
. (П16.1.3)
▲ Будем этой задачи, будем искать в виде (16.4)
, (П16.1.4)
Вычислив производные от (П16.1.4) и, подставив их в уравнение (П16.1.1), проведя вышеописанные преобразования, получим два уравнения для нахождения функций X=X(x) и T=T(t)
(П16.1.5)
и
. (П16.1.6)
Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (П16.1.4), удовлетворяющие граничным условиям (П16.1.3), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
. (П16.1.7)
Общее решение уравнения (П16.1.6) имеет вид
,
удовлетворяя граничным условиям (П16.1.7), получим
.
Нетривиальное решение задачи (П16.1.6), (16.1.7) возможно лишь при собственных значениях λn равных
. (П16.1.8)
Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида
, (П16.1.9)
которые будут являться нетривиальными решениями задачи (П16.1.6), (П16.1.7).
Собственные значения (П16.1.8) подставим в уравнение (П16.1.5)
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
. (П16.1.10)
Подставляя функции (П16.1.9) и (П16.1.10) в (П16.1.4), найдем
. (П16.1.11)
Для определения значений постоянных an и bn воспользуемся начальными условиям (П16.1.2). Удовлетворяя в решении (П16.1.11) первому из условий (П16.1.2), получим
.
Следовательно, постоянная an =0
Для определения коэффициента bn удовлетворим в решении (П16.1.11) второму из условий (П16.1.2), в результате получим
.
Это равенство представляет собой разложение функции x(1-х) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, постоянная bn является коэффициентом ряда Фурье в интервале (0,l), который можно определить по формуле
.(16.20)
Вычислим оба интеграла
подставим
найденные интегралы в (16.20)
Подставив найденное значение коэффициента bn в решение (П16.1.11), получим окончательный вид решения исходной задачи
.▲
Пример 16.2.
Струна, закрепленная на концах x=0
и x=l,
имеет в начальный момент форму параболы
.
Определить смещение точек струны от
оси абсцисс, если начальные скорости
отсутствуют.
▲ Запишем волновое уравнение
(П16.3.1)
начальные условия
(П16.3.2)
и граничные условия
. (П16.3.3)
в соответствии с условиями задачи.
Решение исходной задачи дается формулой (16.16)
, (П16.3.4)
в которой коэффициенты ряда – an и bn, определяются по формулам
, (П16.3.5)
.
Вычислим интеграл (П16.3.5)
Подставляя найденные значения коэффициентов an и bn, в формулу (П16.3.4), получим
.
При четном n=2k
выражение
,
следовательно, и решение
,
а при нечетном
n=2k+1
выражение
,
поэтому окончательное решение исходной
задачи имеет вид
.▲