Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений
17.1. Методы решения задачи Коши
Рассмотрим
задачу распространения нестационарного
температурного поля в неорганичном
трехмерном объекте под влиянием внешних
температурных источников -
,
начальная температура которого задана
-
.
Таким образом, сформулирована задача
Коши для уравнения теплопроводности
,
(17.1)
(17.2)
где
–
неизвестная функция;
- вектор с координатами x,y,z;
функции
–
заданы.
Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)
(17.3)
Если
найти коэффициенты
,
то по формуле (17.3)
получим решение. Заметим, что
определяется
из начального условия (17.2), т.е.
.
Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (17.1)
(17.4)
Поскольку
функция
задана, то все
могут быть найдены.
Выражения
для частной производной
и оператора Лапласа
в уравнении (17.1), следуют из (141)
(17.5)
Подставим (142) и (143) в уравнение (17.4). В результате получим равенство
Это равенство равносильно соотношениям
(17.6)
которые
определяют коэффициенты
и так далее через
,
заданную в начальном условии (17.2).
Таким образом, решение задачи Коши (17.1)–(17.2) выражается формулой:
(17.7)
где задана в (17.2), а остальные находятся по (17.6)
(17.8)
Этот метод можно использовать и при изучении распространения тепла и диффузионных процессов для двух- и одномерных объектов.
Пример 17.1. Найти решение уравнения
▲ Здесь
.
Так как
и
,
то по (17.8)
Отсюда
находим
То
есть, все остальные
Подставляем полученные в решение (17.7)
или
▲
▲
Здесь
Так как
и
,
то по (17.8)
Отсюда
находим
То есть, все остальные
Подставляем полученные в решение (17.7)
или
▲
Пример 17.2. Найти решение уравнения
▲
Здесь
Так как
и
,
то по (17.8)
Найдем по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные в решение (17.7)
или
▲
Задания для самостоятельной работы
Решить задачи Коши для уравнения теплопроводности
17.1.
.
17.2.
.
17.3.
.
17.4.
.
17.5.
.
17.6.
.
17.7.
.
17.8.
.
17.9.
.
17.10.
.
17.11.
.
17.12.
.
17.2. Методы решения граничных задач
1. Решение граничных задач для уравнения теплопроводности начнем с рассмотрения задачи о распространении нестационарного температурного поля в тонком однородном стержне размером l, температура которого в начальный момент времени при t = 0 равна φ(х). При этом торцы стержня поддерживаются при нулевой температуре и на стержень не оказывают влияние внешние источники тепла. Сделаем математическую запись этой задачи: запишем исходное уравнение теплопроводности
, (17.9)
с начальными условиями
, (17.10)
и граничными условиями
. (17.11)
Решение этой задачи будем искать в виде
(17.12)
Вычислим от этой функции первую производную по t и вторую по x и подставим их в исходное уравнение (17.9)
или
(17.13)
Равенство (17.13) выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.
. (17.14)
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка
(17.15)
и
. (17.16)
Для того, чтобы получить не равные нулю решения вида (17.16), удовлетворяющие граничным условиям (17.11), необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
. (17.17)
Таким образом, мы пришли к задаче: найти такие значения параметра которые, назовем собственными числами или собственными значениями. Нетривиальные решения уравнения (17.16), которые соответствуют этим собственным значениям, будут при >0.
В этом случае общее решение уравнения (17.14) имеет вид
,
удовлетворяя граничным условиям (17.17), получим
.
В уравнении постоянная С2 не может быть равной нулю, поскольку в этом случае, мы получим тривиальное решение задачи (16.9), (16.10) - Х(х) ≡ 0. Поэтому для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы выполнялось равенство , а оно выполняется только тогда, когда (n-любое целое число). Следовательно, нетривиальное решение задачи (17.16), (17.17) возможно лишь при собственных значениях n равных
. (17.18)
Только этим собственным значениям соответствуют (нормированные) собственные функции вида
, (17.19)
которые будут являться нетривиальными решениями задачи (17.16), (17.17).
Собственные значения (17.19) подставим в уравнение (17.15)
. (17.20)
Это линейное однородное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид
. (17.21)
Подставляя функции (17.19) и (17.20) в (17.12), найдем
, (17.22)
где Сi– произвольные постоянные.
В силу линейности и однородности уравнения (17.9) всякая конечная сумма решений (17.22) также будет решением уравнения (17.9), поэтому можно записать
. (17.23)
Для определения значений постоянных Сn необходимо воспользоваться начальными условиям (17.10). Удовлетворяя в решении (17.23) условию (17.10), получим
. (17.24)
Это равенство представляет собой разложение функции φ(x) в ряд Фурье интервале (0,l) по синусам. Следовательно, Сn является коэффициентом ряда Фурье в, который можно определить по формуле
. (17.25)
Таким образом, ряд (17.24) полностью определяет решение исходной краевой задачи (17.9)-( 17.11).
2. Рассмотрим следующую задачу. Определим закон распространения нестационарного температурного поля в тонком однородном стержне размером l, температура которого в начальный момент времени при t = 0 равна φ(х). При этом температура на торцах стержня изменяется: по закону μ(t) на конце x = 0 и по закону ν(t) на конце x = l. На стержень оказывают влияние внешние источники тепла по закону f(t,x). Сделаем математическую запись этой задачи: запишем исходное уравнение теплопроводности
, (17.25)
с начальными условиями
, (17.26)
и граничными условиями
. (17.27)
Решение этой задачи будем искать в виде
(17.28)
где v(t,x) – новая неизвестная функция; ϖ(t,x) – функция, определяемая граничными условиями по следующему правилу
. (17.29)
Таким образом, наша задача сводится к нахождению функции v(t,x), для этого необходимо вычислить вторые производные от функции (17.28)
(17.30)
и подставив их в исходное уравнение (17.25), получим
обозначив
,
получим окончательно
.
Полученное уравнение является уравнением относительно неизвестной функции v(t,x). Поставим для этой функции начальные и граничные условия в соответствии с условиями (17.27), (17.28). Запишем первое из начальных условий
или
Теперь запишем граничные условия для функции v(t,x).
Таким образом, мы перешли от задачи с неоднородными граничными условиями к однородным
; (17.31)
(17.32)
(17.33)
Решение этой задачи будем искать в виде
. (17.34)
Для нахождения неизвестной функции Vn(t) продифференцируем (17.34) дважды по t и по x
, (17.35)
, (17.36)
а также разложим функцию F(t,x) в ряд Фурье по синусам
, (17.37)
где . (17.38)
Подставив (17.35), (17.36) и (17.37) в уравнение (17.31), получим
.
В левой и правой частях полученного уравнения, имеются одинаковые функции , поэтому можно приравнять коэффициенты при этих функциях, в результате получим обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно искомой функции Vn(t)
. (17.39)
Общее решение этого уравнения найдем по формуле Эйлера
(17.40)
Таким образом, подставляя в решение (17.34) найденную функцию Vn(t), найдем решение уравнения (17.31).
. (17.41)
Однако в полученном решении еще не определены значения произвольных постоянных Сn. Их конкретные значения найдем, используя начальные условия (17.32)
. (17.42)
Это выражение представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам на интервале [0,l]. Следовательно, Сn является коэффициентом ряда Фурье и его можно определить по формуле
.
(17.43)
Подставляя (17.43) в (17.42), а затем полученную функцию v(t,x) в решение (17.28), найдем окончательное решение исходной задачи
.