- •Часть 2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Лекция 11. Уравнения в частных производных первого порядка
- •11.1. Линейные и квазилинейные уравнения
- •11.2. Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики
- •11.3. Решение задачи Коши
- •12.2. Уравнение колебаний стержня
- •12.3. Уравнение теплопроводности и диффузии
- •12.4. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •Лекция 13. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка, приведение их к каноническому виду и нахождение общего решения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 14. Начальные и граничные условия
- •14.1. Начальные условия
- •14.2. Краевые задачи
- •Лекция 15. Решение задачи коши для волнового уравнения
- •15.1. Решение задачи Коши методом Даламбера
- •15.2. Решение задачи Коши для волнового уравнения методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16. Решение граничных задач волнового уравнения
- •16.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны
- •16.2. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения вынужденных колебаний струны
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16 (продолжение). Задача о напряженном состоянии элемента вооружения долота режущего действия
- •Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений
- •17.1. Методы решения задачи Коши
- •Задания для самостоятельной работы
- •17.2. Методы решения граничных задач
- •Лекция 17 (продолжение). Расчет глубины промерзания связанных горных пород
- •Лекция 18. Стационарные уравнения. Уравнение лапласа и методы его решения
- •18.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
- •18.2. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 19. Уравнение неразрывности и уравнения эйлера
- •19.1. Гипотеза сплошности
- •19.2. Установившееся и неустановившееся движения.
- •19.3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •19.4. Закономерности распространения плоских упругих волн
- •Лекция 20. Закономерности преломления и отражения плоских упругих волн на плоскости контакта твердых тел
- •Часть 4. Преобразование лапласа и его применение при решении дифференциальных уравнений Лекция 21. Преобразование лапласа
- •21.1. Преобразование Лапласа
- •21.2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •21.3. Свертка функций
- •21.4. Оригиналы с рациональными изображениями
- •21.5. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)
- •21.6. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности
- •Лекция 22. Практическое применение преобразования лапласа
- •22.1. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •22.2. Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных
- •Лекция 23. Миграционная подмодель радиогеоэкологической модели подземного регионального хранилища радиоактивных отходов и ядерных материалов
- •Вопросы к экзамену по дисциплине: «Дифференциальные уравнения в горном деле»
Лекция 22. Практическое применение преобразования лапласа
22.1. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
В случае, когда требуется найти решение неоднородного уравнения
, (22.1)
удовлетворяющего начальным условиям:
, (22.2)
где любые заданные числа, то для нахождения частного решения уравнения (22.1) можно воспользоваться преобразованием Лапласа.
Найдем сначала изображение решения . С этой целью возьмем изображения обеих частей уравнения (22.1), применив к ним преобразование Лапласа и, используя правило дифференцирования оригинала (свойство 4). При этом получим уравнение линейное относительно :
Разрешим это уравнение относительно . Собрав все члены, содержащие , и перенеся остальные члены в правую часть, получим
, (22.3)
где
Необходимо отметить, что коэффициент при есть не что иное, как характеристический полином для однородного линейного уравнения, соответствующего уравнению (22.1). Поэтому уравнение (22.3) можно записать в виде:
. (22.4)
Это уравнение называется изображающим уравнением или операциьнным уравнением для задачи Коши (22.1), (22.2).
Из уравнения (22.4) находим изображение искомого решения
. (22.5)
Восстанавливая по изображению (22.5) оригинал (например, по табл. 1), получим искомое решение .
Пример 22.1. Найти решение уравнения: , удовлетворяющее начальным условиям:
Возьмем изображение обеих частей исходного уравнения. Если оригиналу соответствует изображение , что записывается следующим образом – , то можно использовать правило дифференцирования оригинала. В нашем случае в левой части исходного уравнения мы имеем сам оригинал и его вторую производную . Представим изображение
≒ ,
тогда изображение левой части исходного уравнения будет иметь вид:
+ у(х) ≒ ,
а изображение правой части, которое можно взять из таблицы оригиналов и изображений (табл.1) будет выглядеть так
≒ .
Поэтому изображающим или операторным уравнением будет уравнение
. (П22.1.1)
По таблице оригиналов и изображений (табл.1) устанавливаем, что функция (П22.1.1) является изображением функции с точностью до множителя (-1/2). Поэтому искомым решением исходной задачи Коши будет
.
22.2. Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных
Пусть функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:
f(t) кусочно непрерывна на отрезке [0, а] для любого a > 0;
f(t) = 0 при t < 0;
существуют числа М > 0 и s0 ≥ 0 такие, что .
Тогда преобразованием Лапласа функции f(t) называется функция
где р = s + iσ; обозначение: f(t)= F(p).
Очевидно, преобразование Лапласа существует, если s > s0 (при этом несобственный интеграл сходится).
Основными свойствами преобразования Лапласа являются:
1) линейность, т. е. , где С1 и С2 — постоянные;
2) преобразование частных производных по такому правилу: если u=u(x,t) и преобразование Лапласа проводится по переменной t (t ≥ 0), то, обозначив
можно (интегрированием по частям) установить соотношения при определенных условиях на функцию u(x,t) и ее частные производные
Таким образом, преобразование Лапласа заменяет операцию дифференцирования по временной переменной t умножением. Этот важный факт используется при решении дифференциальных уравнений с частными производными.
Рассмотрим теперь, как применяется преобразование Лапласа к решению гиперболических задач.
Пример 22.2. Начиная с момента t = 0 к концу х = 0 полубесконечной изолированной электрической линии подключена э.д.с. E(t). Найти напряжение u(x,t) для t > 0 в линии, если начальное напряжение и начальный ток в ней равны нулю, для случаев, когда:
а) линия без потерь (R = G = 0);
б) линия без искажения (RC = LG).
Решение случая а).
Математическая постановка задачи для случая а) имеет вид
(здесь L и С — соответственно индуктивность и емкость единицы длины провода).
Применим преобразование Лапласа по временной переменной t к левой и правой частям дифференциального уравнения с частными производными. Тогда, учитывая, что
Из исходного уравнения получим обыкновенное дифференциальное уравнение
с граничными условиями
(второе граничное условие следует из физических соображений).
Итак, имеем граничную задачу
Общее решение нашего уравнения есть
,
где С1 и С2 — произвольные постоянные. Сразу отметим, что нужно полагать С1 = 0 (иначе U(x,p) →∞ при х →∞). Поэтому
.
Полагая здесь х = 0, находим U(0,p) = С2. Однако в соответствии с граничным условием условию U(0,p) = F(p). Значит, С2 = F(p). Следовательно,
С учетом свойства запаздывания: если f(t)←F(p), то f(t-τ)←exp(-рτ)F(p). Отсюда, возвращаясь к оригиналу, получим
.
Необходимо отметить, что
при ,
а при
Решение случая б).
Математическая постановка задачи имеет вид
б)
где a2 = LC, b = ½(CR+LG), c2 = RG
(здесь R и G — сопротивление и проводимость единицы длины провода).
Применяя преобразование Лапласа, получим граничную задачу
Общее решение уравнения имеет вид
Из граничного условия U(+∞,p) = 0 следует, что С1 = 0. Значит,
Если , то тогда
Из граничного условия , следует
С учетом свойства запаздывания: если f(t)←F(p), то f(t-τ)←exp(-рτ)F(p). Отсюда, возвращаясь к оригиналу, получим
.
Необходимо отметить, что
при ,
а при
Пример 22.3. Решить краевую задачу
(П22.3.1)
Решение. Воспользуемся преобразованием Лапласа по переменной х. Учитывая свойство этого преобразования, имеем
u(x,t) ≒ p2U(p,x),
ut(x,t) ≒ Ut(p,x),
ux(x,t) ≒ pUt(p,t) - t,
uxx(x,t) ≒ p2U(p,t) - pt, f(x) ≒ F(p).
Из уравнения (П22.3.1), применяя к левой и правой его частям преобразование Лапласа, находим
Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (в этом уравнении р играет роль параметра) по переменной t. Его можно переписать так:
Общее решение этого уравнения есть функция
Заметим теперь, что постоянную С здесь нужно считать равной нулю, ибо если С ≠ 0, то U(p, t) → ∞ при р → ∞ (нарушается необходимое условие существования изображения). Таким образом,
Теперь осталось вернутся к оригиналу u(х,t). Имеем
и по теореме о свертке получим
и по теореме о свертке получим
Следовательно, решение нашей задачи есть
.