Занятие № 12 Тема: Квантовое каноническое распределение. Квантовая теория теплоемкостей газов и твердых тел

Вопросы

1. Квантовое каноническое распределение и его основные свойства.

2. Классическая теория теплоемкости газов и ее трудности.

3. Квантовая теория теплоемкости двухатомных газов.

4. Классическая теория теплоемкости твердых тел и ее трудности.

5. Теория теплоемкости твердых тел Эйнштейна.

Задачи

12.1 Показать, что выражение для средней энергии термодинамической системы может быть записано в виде , где Z – статистический интеграл для классической системы или статистическая сумма для квантовой системы.

12.2 Система имеет невырожденный энергетический спектр E_m = m, где m = 0, 1, 2, ..., . Найти среднюю энергию такой системы.

12.3 Найти среднюю энергию и теплоемкость системы N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в двух квантовых невырожденных состояниях с энергиями ₀ и _1.

12.4 Определить среднюю энергию трехмерного квантового осциллятора, энергия которого принимает дискретный ряд значений _n = ћ (n + 3/2) с кратностью вырождения уровней g_n = (n + 1)(n + 2)/2, где n = 0, 1, 2, ..., .

12.5 Найти свободную энергию, энтропию, среднюю энергию и теплоемкость системы N несвязанных линейных гармонических квантовых осцилляторов.

12.6 Найти свободную энергию, энтропию, среднюю энергию и теплоемкость системы N несвязанных трехмерных гармонических квантовых осцилляторов, каждый из которых обладает невырожденными уровнями энергии _n = ћ (n + 3/2) , где n = 0, 1, 2, ..., .

12.7 Найти свободную энергию, энтропию, среднюю энергию и теплоемкость системы N несвязанных двумерных гармонических квантовых осцилляторов, каждый из которых обладает (n + 1)-кратно вырожденными уровнями энергии _n = ћ (n + 1) , где n = 0, 1, 2, ..., .

12.8 Найти свободную энергию, энтропию, среднюю энергию и теплоемкость системы N независимых квантовых ротаторов при высокой температуре.

12.9 Для классического двухатомного идеального газа найти: а) кинетическую энергию вращения молекулы с массами атомов m_A и m_B относительно их центра масс; б) статистическую сумму (статистический интеграл) для вращения этой молекулы; в) вращательную энергию и соответствующие ей теплоемкость, свободную энергию и энтропию газа.

12.10 Сравнить характеристическую температуру вращательного движения молекулы HF (момент инерции 1,3710^-40 гсм²) и характеристическую температуру колебательного движения молекулы HCl (собственная частота колебаний 8,7510¹³ Гц).

Занятие № 13 Тема: Квантовая теория теплоемкости твердых тел

Вопросы

1. Классическая теория теплоемкости твердых тел и ее трудности.

2. Основные положения теории теплоемкости твердых тел Дебая.

Задачи

13.1 Получить выражения для внутренней энергии и теплоемкости твердого тела при высоких температурах в рамках теории Дебая.

13.2 Найти уравнение состояния трехмерного кристалла в рамках теории Дебая.

13.3 Оценить скорость звука в алмазе, зная дебаевскую температуру (1860 К) и постоянную решетки (0,154 нм).

13.4 Найти энергию и теплоемкость линейной цепочки атомов длиной L для низких и высоких температур.

13.5 Найти энергию и теплоемкость двумерного кристалла из N атомов для низких и высоких температур.

13.6 Считая колебания атомов твердого тела с потенциальной энергией U = ax² – bx⁴ ангармоническими, найти его теплоемкость.

13.7 Показать, что на диаграмме (С_V, Т) площадь между кривой зависимости теплоемкости твердого тела от температуры и прямой, выражающей классический закон Дюлонга и Пти, соответствует энергии нулевых колебаний.

13.8 Найти теплоемкость твердого тела при низких температурах, если частота колебаний связана с модулем волнового вектора соотношением  = Aqⁿ, где n > 0.

13.9 Вывести соотношение, устанавливающее связь между теплоемкостью, коэффициентом термического расширения и модулем всестороннего сжатия (второй закон Грюнайзена).

13.10 Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической кристаллической решетки , где r₀ – равновесное расстоянин между атомами, V – объем кристалла, U – внутренняя энергия. Для кристалла с молярным объемом V₀ и общей энергией взаимодействия между атомами U₀ показать, что , если энергия взаимодействия между атомами описывается выражением .