Молекулярная физика

Работа 10. определение отношения

теплоемкости воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме

методом адиабатического расширения

Цель работы – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоемкости; определить коэффициент Пуассона ^ методом адиабатического расширения (методом Клемана – Дезорма).

Общие сведения

Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью.

,

где Q – количество тепла, подводимого к системе; Т – абсолютная температура системы; M – масса газа;  – масса одного моля газа.

Как показывают теория и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса.

Теплоемкость газа при постоянном давлении С_p больше теплоемкости при постоянном объеме C_V. Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики: количество тепла Q, подводимого к системе, идет на увеличение внутренней энергии системы U и на совершение этой системой работы A над внешними телами:

Q = U + A.

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определенную величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном.

Как следует из теории,

C_p = C_V + R, (1)

где R – универсальная газовая постоянная.

Выражение (1) носит название соотношения Майера.

Отношение  = С_р/C_V входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0):

. (2)

Здесь p₁ и V₁ – давление и объем газа в первом состоянии; p₂ и V₂ – давление и объем газа во втором состоянии.

Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (например, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах (быстрое периодическое изменение давления в малых областях пространства) также протекает адиабатически.

Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Накачаем насосом воздух в большой стеклянный баллон В (см. рисунок) и закроем кран K. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения нагнетания разность уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри баллона не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в баллоне после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1 следующие: V₁ – объем единицы массы воздуха; t₁ – температура воздуха; H + h₁ – давление в баллоне, выраженное в единицах разности уровней жидкости в манометре^; Н – атмосферное давление; h₁ – избыточное давление, созданное накачиванием.

Откроем кран K и, как только давление в баллоне В сравняется с атмосферным (это можно определить по прекращению характерного шипения), закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t₂. Объем единицы массы воздуха станет равным V₂. Воздух, оставшийся в баллоне, перейдет в состояние 2 с параметрами V₂, t₂, Н. Так как температура t₂ меньше наружной, то воздух в баллоне будет постепенно нагреваться (вслед­ствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t₁. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в баллоне увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h₂, т.е. воздух переходит в состояние 3 с параметрами V₂, t₁, Н + h₂.

Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами:

Состояние	1	2	3
Объем	V1	V2	V2
Температура	t1	t2	t1
Давление	Н + h1	Н	Н + h2

В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением изотермического процесса (уравнением Бойля – Мариотта):

. (3)

Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (2), которое примет вид

(4)

Преобразуем уравнение (3). Возведем обе его части в степень :

.

Разделим почленно полученное равенство на выражение (4),

.

Прологарифмируем последнее равенство:

,

откуда

Так как величины h₁ и h₂, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h₁/H и (h₁ – h₂)/(H + h₂) также незначительны, для нахождения логарифма можно воспользоваться выражением

,

где х – малая величина. Поскольку х² и, тем более, х³ – величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, то lg(1 + x)  x и, следовательно,

Пренебрегая величиной h₂ в сумме H + h₂, получим расчетную формулу

. (5)