25. Функция распределения и её свойства.

Функцией распределения вероятностей F(x), называется вероятность того, что сл. Вел. Х примет своё значение меньше числа х. F(x)=P(X<x).

Геометрический смысл этого определения: Пусть х- число, зафиксируем его в виде точки. Тогда значение функции в указанной точке есть вероятность того, что сл.вел. Х примет своё значение левее отмеченной точки на оси.

Свойства F(x):

1. 0<=F(x)<=1

2. F(x) неубывающая. Для каждого х1 и х2: х2>x1, следовательно F(x2)>=F(x1). Доказательство (X<x2)=(X<x1)+(x1<=X<=x2). События несовместны, применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий. P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1<=X<=x2). F(x2)=F(x1)+ P(x1<=X<=x2) [>=0]. Отбросим неотрицательное слагаемое, тогда правая часть уменьшается, значит F(x2)>=F(x1) ч.т.д. т.к. точки х1 и х2 любые. Следствие: вероятность того, что сл.вел. Х примет своё значение [a;b) равна приращению функции распределения на этом промежутке. P(a<=X<=b)=F(b)-F(a). Непрерывная сл.вел- если её функция распределения непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек.

3. Если Х непрерывная сл.вел. то вероятность того, что она примет конкретное значение х0=0, Р(Х=х0)=0. Доказательство: [x0;x0+x)P(x0<=x<x0+x)=F(x0). x мало. Следствие: Если Х непрерывная сл.вел. то P(a<=X<=b)=P[(a<=X<b)(x=b)]= P(a<=X<b)+P(X=b)= P(a<=X<b) ч.т.д. т.к. события несовместны.

4. X[a;b], тогда справедливо равенство: F(x)=0; x<=a. F(x)=1; x>=b. Если Х(-∞;+∞), то F(x)=0. F(x)=1. График Х(-∞;+∞),

X[a;b]

26. Функция плотности вероятности и её свойства.

Функцией плотности вероятностей называется производная от функции распределения.

F(x)=F`(x). Свойства:

1. f(x)>=0

2. Теорема: вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет своё значение в промежутке [a;b] равна определённому интегралу от функции плотности, вычисленному по этому промежутку. P(a<X<b)= f(x)dx. Геометрический смысл: Вероятность того, что случ. Вел. Примет свои значения в указанном промежутке численно равна заштрихованной площади трапеции.

3. f(x)dx=1. Площадь под кривой всегда равна 1ед^2.

4. F(x)= f(t)dt. Значение функции F в отмеченной точке х численно равна заштрихованной площади криволинейной трапеции.

27.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл: . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:  . При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: . Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии: . Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум: Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным. Медианой M_D случайной величины Х  называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины: . Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.