39.Закон больших чисел.Неравенство Чебышева.

Под законом больших чисел понимается совокупность всех теорем составляющих вероятностные закономерности поведения суммы достаточно большого числа случ.вел. Сюда относятся теоремы Бернули, Чебышева и др.

Неравенство Чебышева: Вероятность того, что отклонение сл.вел. от своего мат.ожид. по абсолютной величине не будет превосходить заданного положительного числа  , не меньше чем 1-(DX/(^2),где DX дисперсия сл.вел, т.е: P(|X- Mx|<) >=1-1-(DX/(^2), доказательство для непрерывной вел.:

|X-Mx|<(X-MX)^2< P(|X- Mx|<)=P(X-Mx)^2<^2. X0=(x-Mx)^2; A=^2. Применим неравенство Маркова (Вероятность того, что сл. Вел. Х примет своё значение < числа А, не меньше чем 1- Mx/A. Т.е. P(X<A)>=1-Mx/A.) P((X-MX)^2<^2)>=1-Mx0/(^2)=1-(M(X-MX)^2)/(^2)=1-Dx/(^2) ч.т.д.

На практике неравенство используется редко, т.к. оно часто даёт грубую оценку вероятности P(|X- Mx|<), но теоретическое значение неравенства громаденое, т.к. с помощью него доказывается большое количество теорем закон. Больших чисел.

40.Теорема Чебышева. Смысл теоремы и её значение.

Теорема: пусть дана система х1,х2,…,хn… независимых сл.вел. Дисперсии кот. Ограничены одним и тем же числом С. Dxi<=C, для любого I, тогда, как бы мало не было положительное , как угодно близко к 1. |((x1+x2+…+xn)/n)-((Mx1+Mx2+…+Mxn)/n)|<, если n- достаточно велико. Иначе говоря в условиях теориемы справедливо: P(|((x1+x2+…+xn)/n)-((Mx1+Mx2+…+Mxn)/n)|<)=1.

Смысл теоремы: с вероятностью сколь угодно близкой к 1 можно утверждать, что среднеарифметическое сл.вел. будет близко к средне арифметическому их мат.ожид. Если число случ.вел. достаточно велико (n∞), то если взять достаточно большое число случ.вел. то среднеарифм. Их ведёт себя предсказуемо, можно представить какие значения она может принимать. Она может принимать значения как угодно близко к средне арифмет. Мат.ожид. (( x1-MX1)+(X2-MX2)+…+(Xn-MXn))/n.

Доказательство теоремы: Xn(cp)=(x1+x2+…+xn)/n, M(xn(cp))=(Mx1+Mx2+…+Mxn)/n. P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<)=1.

Применим неравенство Чебышева к сл. Вел xn(cp), тогда: P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<)>=1-(D(xn(cp)))/(^2) (*). Найдём оценку дисперсии: D(xn(cp))=D((x1+x2+…+xn)/n)=(1/(n^2))*D(x1+x2+…+xn), т.к. сл.вел. независимы: (1/(n^2))*(Dx1+Dx2+…+Dxn)<= (1/(n^2))*(C+C+…+C) [n раз]= (1/(n^2))*n*C=C/n, D(xn(cp))<=C/n. Вставим в (*): P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<)>=1-C/(n*^2). (n*^2)0, Перейдём к пределу: P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<)>=1. В этом неравенстве слева стоит вероятность, кот. Не может быть больше 1, остаётся, что она =1. P(|xn(cp)-M(xn(cp))|<)=1 ч.т.д.

Следствие теоремы: пусть дана система х1,х2,…,хn… независимых сл.вел. с одним и тем же мат.ожид. Mx1=Mx2=…=Mxn=a; Dxi<=C. Тогда с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что среднеарифметическое сл.вел. будет как угодно близко к мат.ожид. каждой сл.вел. Если число случ.вел. достаточно велико. В условии этой теоремы справедливо: P(|xn(cp)-a|<)=1. Если заменить M(Xn(cp))=M((x1+x2+…+xn)/n)=(1/n)*(Mx1/a+Mx2/a+…+Mxn/a)=(1/n)*n*a=a ч.т.д.

Значение теоремы: На основе теоремы Чебышева разработан выборочный метод мат.статистики. Теория измерений основана на частном случае теор. Чебышева. Пример: Пусть нас интересует истинный размер некоторого объекта, обозначим его а, он нам не известен: x1,x2,…xn. Xn(cp)= ((x1+x2+…+xn)/n), и полагаем, что истинный размер аxn(cp). С математической точки зрения все замеры являются независимыми и одинаково распределёнными сл.вел. Применим частный сл. Теоремы: Заключают. Что если число замеров достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к 1, среднеарифметическое замеров будут как угодно близко к истинному размеру объекта.