- •12.Дискретные вероятностные пространства
- •17. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •25. Функция распределения и её свойства.
- •26. Функция плотности вероятности и её свойства.
- •28. Равномерное распределение и его числовые характеристики.
- •29. Показательное распределение.
- •31.Влияние параметров «» и «» на форму кривой нормального распределения.
- •33. Функция Лапласа и её вероятностный смысл.
- •34. Вычисление вероятности попадания значений нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •35. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины. Правило «трёх сигм».
- •36. Функция распределения нормальной случайной величины.
- •37. Мода. Медиана, квантили и процентные точки
- •39.Закон больших чисел.Неравенство Чебышева.
- •40.Теорема Чебышева. Смысл теоремы и её значение.
- •41.Теорема Бернулли.
- •43.Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствие теоремы.
28. Равномерное распределение и его числовые характеристики.
Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке , где , если еёплотность имеет вид:
где а и b параметры.
Интегрируя определённую выше плотность, получаем:
MX=(a+b)/2; DX=((b-a)^2)/12. Равномерное распределение используется в системах массового обслуживания, а так же при построении таблицы случайных чисел, используемых в прикладной статистике.
29. Показательное распределение.
Непрерывная величина Х имеет показательное распределение, если её функция плотности имеет вид:
где параметр. Сл.Вел. используется в системах массового обслуживания. Смысл - число заявок обслуженных системой в ед. времени.
Ось х-асимптота.
Интегрируя плотность, получаем функцию показательного распределения:
Числовые характеристики: MX=1/; DX=1/(^2).
30.Нормальное распределение.Св-ва фун-и плотности норм.распр. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности: . Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Найдем функцию распределения F(x): График плотности нормального распределения называется нормальной кривой(кривой Гаусса).
График называется кривой нормального распределения. Если: a=0;=1, то сл. Вел. Называется нормарованной. : Свойства:
(-∞;+∞), f(x)>0
X<=0, fmax=f(a)=1/(*(2))
X1,2=a+-, fпер=f(x1,2)= 1/(*(2e))
Y=0 асимптота
f(x)dx=1.
31.Влияние параметров «» и «» на форму кривой нормального распределения.
1. Влияние а:
При изменении параметра а пик кривой сдвигается вдоль оси Ох с сохранением формы. Если а увеличивается. То пик сдвигается вправо. Если уменьшается, то влево. а2>a1
2. Влияние : При изменении параметра кривая деформируется: Если сигма уменьшается, то пик кривой вытягивается вдоль оси Оу, становится более островершинной.Если увеличивается, то приближается к оси Ох, становится более плосковершинной. Но как бы не деформировалась кривая, площадь под неё всегда равна 1 ед^2.
|
|
32.Вероятностный смысл параметров нормального распределения. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается следующей плотностью вероятностей:
.Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров таков: а- есть математическое ожидание; — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
Теорема: a=MX; =x. а это мат.ожидание нормальной случайной величины, а её среднее квадратическое отклонение. Доказательство а=МХ:
Введем новую переменную
Тогда
Первый интеграл равен нулю, так как под знаком интеграла стоит нечетная функция, а пределы интегрирования симметричны. Второй интеграл известен как интеграл Пуассона .
Поэтому M(x)=а