Адыгейский Государственный Университет

Х.М. Андрухаев

кОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Майкоп 2011

Министерство образования и науки РФ

Адыгейский Государственный Университет

Контрольные работы

по теории вероятностей

(с решениями задач нулевых вариантов)

Майкоп 2011

Оглавление

Предисловие 4

Справочный материал 5

Контрольная работа №1 14

Контрольная работа №2 16

Контрольная работа №3 19

Решение задач нулевых вариантов 24

Контрольная работа №1 24

Контрольная работа №2 29

Контрольная работа №3 34

Приложения 43

1. Таблица значений функции 43

2. Таблица значений функции 44

3. Таблица значений функции 45

Рекомендуемая литература 46

Предисловие.

Три контрольные работы по трем модулям, на которые разбита программа по теории вероятностей для бакалавриата, рассчитаны на проверку качества знаний студентов, полученных в процессе изучения курса теории вероятностей в течение семестра.

Тематика контрольных работ:

№1 (Задачи 1-6): алгебра событий, различные определения вероятности, правила сложения и умножения вероятностей, формула полной вероятности и формула Байеса.

№2 (Задачи 7-13): формула Бернулли и её различные обобщения, приближенные формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.

№3 (Задачи 14-22): дискретные случайные величины, наиболее часто встречающиеся законы распределения, системы случайных величин, числовые характкристики случайных величин, корреляция.

Каждая контрольная работа представлена в 16 вариантах, приводятся решения задач нулевого варианта. Студент в течение семестра по мере прохождения учебного материала должен самостоятельно выполнить свой вариант и сдать согласно графику на проверку преподавателю. Каждая контрольная работа выполняется в ученической тетради. Условия задач записываются, выбирая исходные данные задачи по номеру своего варианта. Ход решения задачи должен быть обоснован достаточно подробно. Решения задач следует расположить в том же порядке, в котором они даны в контрольных работах.

Умение студента решать задачи из своего варианта проверяется во время сдачи соответствующих модулей в аудитории. Кроме теоретических вопросов студенту предлагается решить самостоятельно 2-3 задачи из своего варианта, после чего выставляется окончательная оценка по контрольной работе и начисляются баллы для итоговой оценки знаний по предмету.

Желаю успеха.

Х.М. Андрухаев.

Введение (справочный материал к контрольным заданиям).

Любое событие является результатом некоторого опыта. Будем обозначать события большими латинскими буквами:

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти, но может и не произойти. Соответствующий опыт так же называется случайным или стохастическим.

При аксиоматическом введении понятия события (случайного события) за основу берут некоторое непустое множество , элементы которого называются элементарными событиями. В качестве событий рассматриваются подмножества множества . Пустое подмножество Ø называется невозможным событием, а само множество (как подмножество самого себя) называется достоверным событием. Множество элементарных событий принято называть пространством элементарных событий.

Обозначим через множество всех событий. Аксиомы событий:

1. ;

2. .

Объединение событий называется суммой этих событий: . Из аксиом событий и теории множеств вытекает, что Ø . Событие называется противоположным событию . Множество событий, в котором над событиями определены операции сложения, умножения и взятие противоположного события, называется алгеброй событий. Согласно определениям: наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из ; наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события и ; наступает тогда и только тогда, когда не наступает . Обозначив наступление события «1» и ненаступление – «0», получим: Смысл операций над событиями наглядно можно изобразить диаграммами Эйлера (рис.1):

А

Рис.1

Аксиомы вероятности:

1. Каждому событию из поставлено в соответствие вполне определенное неотрицательное число , называемое вероятностью .

2. Если события попарно не пересекаются (попарно несовместны), то (аксиома счетной аддитивности вероятности ).

3. (вероятность достоверного события равна 1).

Из аксиом вероятности и аксиом событий вытекает: .

Условной вероятностью события при условии, что событие наступило, называется число , равное

.

Отсюда формула для вероятности произведения двух событий: . Для событий по индукции будем иметь:

.

События и называются независимыми, если и . Это определение равносильно определению: .

Если событие может наступить только с одним из событий , то - формула полной вероятности. Так как , то

.

Это формула Байеса.

Классическое определение вероятности. Если и , то при по определению , где - число элементарных событий, - число элементарных событий, входящих в ( - называют числом благоприятных случаев для ).