- •12.Дискретные вероятностные пространства
- •17. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •25. Функция распределения и её свойства.
- •26. Функция плотности вероятности и её свойства.
- •28. Равномерное распределение и его числовые характеристики.
- •29. Показательное распределение.
- •31.Влияние параметров «» и «» на форму кривой нормального распределения.
- •33. Функция Лапласа и её вероятностный смысл.
- •34. Вычисление вероятности попадания значений нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •35. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины. Правило «трёх сигм».
- •36. Функция распределения нормальной случайной величины.
- •37. Мода. Медиана, квантили и процентные точки
- •39.Закон больших чисел.Неравенство Чебышева.
- •40.Теорема Чебышева. Смысл теоремы и её значение.
- •41.Теорема Бернулли.
- •43.Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствие теоремы.
41.Теорема Бернулли.
Пусть в n испытаниях по схеме Бернулли вероятность появления события А в отдельном испытании равна Р, 0<P<1, тогда с вероятностью сколь угодно близкой к 1 можно утверждать, что отклонение относительно частоты m/n от вероятности Р по абсолютной величине будет как угодно малым, если число испытаний n достаточно велико (n∞). Иначе: если положительное как угодно малое, то P(|m/n-P|<)=1.Теорема объясняет устойчивость относительной величины m/n.
42.Понятие о сходимости по вероятности. Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимостиизмеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами , то говорят, что сходится по вероятности к X, если
. Обозначение: . В математич. анализе этот вид сходимости называют сходимостью по мере.
43.Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствие теоремы.
Теорема (Ляпунов).
Если независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания и конечные дисперсии , число их достаточно велико, а при неограниченном возрастании
,
где - абсолютные центральные моменты третьего порядка, то сумма их с достаточной степенью точности имеет распределение
(Фактически мы приводим не теорему Ляпунова, а одно из следствий из нее, так как этого следствия вполне достаточно для практических приложений. Поэтому условие , которое названо условием Ляпунова, является более сильным требованием, чем необходимо для доказательства собственно теоремы Ляпунова.)
Смысл условия состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме. В связи с этим теорема Ляпунова имеет исключительно большое значение, а нормальный закон распределения является одним из основных законов в теории вероятностей.
Пусть, например, производится измерение некоторой величины . Различные уклонения наблюдаемых значений от истинного ее значения (математического ожидания) получаются в результате воздействия очень большого числа факторов, каждый из которых порождает малую ошибку , причем . Тогда суммарная ошибка измерения является случайной величиной, которая по теореме Ляпунова должна быть распределена по нормальному закону.
Следствие: Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами: 1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий; 2) Cумма неограниченно растет при . Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда
Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение
|
(56) |
где Ф(х) - интеграл вероятностей.