Атомная (прикладная) физика

• Полученная величина

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

R =10 973 730.3 м–1

хорошо согласуется со значением, полученным экспериментально:

RH =10 967 758.1 м–1

Однако, расхождение (в четвертом знаке !) можно дополнительно уменьшить.

•В предыдущем рассмотрении полагалось, что электрон массы m вращается вокруг бесконечно тяжелого, а потому неподвижного, ядра. В действительности, масса ядра M конечна и различна для разных видов

водородоподобных атомов. В полученных формулах должна фигурировать

эффективная масса	mM	=		m
	m + M		1 + m / M

•В случае водорода ядро представляет собой протон массы MH 1836 m. Поэтому его атомные спектры должны описываться постоянной Ридберга, уменьшенной приблизительно на 1/2000 своей величины:

RH	=		R
				(в формуле для постоянной Ридберга масса – в числителе)
	1		+ m / M H

• Это значение соответствует полученному экспериментально.

6

• Зависимость положения спектральных от массы ядра используют при изучении

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

изотопного состава веществ. В частности, она была использована при открытии тяжелого изотопа водорода – дейтерия D.

•Ядро дейтерия, помимо протона, содержит еще и нейтрон. Поэтому его масса приблизительно вдвое больше массы легкого изотопа («протия»).

•Следовательно, спектры тяжелого изотопа должны описываться постоянной Ридберга RD, средней между R и RH – и частоты спектров изотопов должны

различаться на ~1/4000. («Изотопический сдвиг спектральных линий».)

• Предположение о существовании такого изотопа и его присутствии в обычном водороде было сделано из-за небольшого расхождения атомных весов водорода, определяемых химическими и масс-спектрометрическими методами. Оно было небольшим – около 0.2%.

• Это соответствовало доле тяжелого изотопа порядка 1/4500. Из-за ее малости линии дейтерия долго не могли обнаружить ни в оптических, ни в масс-спектрах.

• В 1931 г. группа Гарольда Юри (Harold Clayton Urey) провела исследование линий серии Бальмера с использованием спектрографа с размером дифракционной решетки 6.4 м (!), разрешение которого было достаточным. Водород предварительно обогащался тяжелым изотопом путем его медленного испарения от объема 3 л до долей см3.

• Линии дейтерия были обнаружены на ожидавшихся позициях.

7

•vk.com/club152685050Выводы теории| Бораvk.com/id446425943нашли подтверждение и для водородоподобных ионов (обладающих единственным электроном) с Z>1.

•Еще в 1897 г. астроном Пикеринг обнаружил в спектрах звезд спектральную серию, сходную с серией Бальмера, но имевшую отличия: число линий в ней было удвоено →

•Ридберг показал, что ее можно описать серией Бальмера с целыми и полуцелыми

значениями индекса n :
			1			1
1/ = R					−				, n = 2.5, 3, 3.5, 4, …
			2	2		n	2

•Первое объяснение – особые свойства «звездного» водорода.

•В лабораторных условия такие спектры удавалось получить, лишь если водород содержал примесь гелия. Однако, в атомных спектрах самого гелия (хорошо известных) эти линии отсутствуют.

•Бор связал серию Пикеринга с излучением однократно ионизованного гелия.

Такой ион содержит один электрон, при этом заряд ядра Z=2.

•В модели Бора, энергии состояний ~Z2. Такой же множитель появится перед R в выражении для волновых чисел 1/ .

8

•vk.com/club152685050Рассмотрим для| vkиона.com/id446425943гелия серию с m=4. Для нее:

1/ = 4R					1				−	1								n = 5, 6, 7, … (Отличие R
			He												,								от R и R невелико)
					42					n	2											He	H
Определим индекс k =n/2 .														Для него:
			1						1							1			1
1/ = R						−							=	R				−				, k = 2.5, 3, 3.5, 4, …
				2							2				He		2			2
He		2						(n / 2)								2			k

•Это и есть искомая серия Пикеринга.

•Вывод Бора был подтвержден экспериментально Пашеном, который показал, что серия Пикеринга может быть получена для чистого гелия без примеси водорода, но не может быть получена для водорода без примеси гелия.

•Таким образом, боровская модель атома водорода объяснила многие из известных к тому времени экспериментальных фактов.

•Дальнейшее развитие она получила в работах Зоммерфельда.

9

5.4. Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Эллиптические орбиты в

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

атоме водорода

•В своей модели атома водорода для круговых орбит электронов Бор постулировал правило квантования величины момента количества движения:

Ln = mvn an = n ħ

•В более общем виде условия квантования были независимо предложены (постулированы) в 1915 г. А. Зоммерфельдом, У. Уилсоном и Д. Исиварой. Зоммерфельд смог успешно применить их к описанию атомных спектров.

•Условия квантования имеют вид:

pk dqk = nk h , nk – целые числа

• Или :

«Фазовый интеграл для каждой обобщенной координаты qk и соответствующего импульса pk равен целому числу квантов действия h »

Это «условия (правило) квантования Бора-	Arnold Sommerfeld

Зоммерфельда (или Уилсона-Зоммерфельда)»	(1868-1951)	1

Пояснения:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•Выбор обобщенных координат: обобщенные координаты должны быть независимы. Каждый обобщенный импульс должен зависеть от «своей» обобщенной координаты и не зависеть от прочих (разделение переменных). Произведение координаты на соответствующий импульс должно иметь размерность «действия» (Дж с).

•Уравнения движения задают зависимость импульсов от координат и от параметров системы.

•В простейшем одномерном случае состояние системы полностью характеризуется одной (обобщенной) координатой q и соответствующим импульсом p. Например, декартовой координатой и импульсом для материальной точки. Или угловой координатой и моментом количества движения для вращающегося тела.

•К примеру, колебания гармонического осциллятора можно описать через закон

сохранения энергии . Энергия выступает в качестве характеристики состояния движения, в котором находится осциллятор:

		p2		fq	2
	=		+
		2m		2
Пример: пружинный маятник

m – масса, f – коэффициент Гука.

Слагаемые – кинетическая и потенциальная составляющие энергии.

2

• Текущее состояние осциллятора с одной

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

степенью свободы можно изобразить точкой на «фазовой плоскости» (p,q), а движение – замкнутой кривой, «фазовой траекторией».

•Для гармонического осциллятора фазовая

	траектория – эллипс.	p2		fq	2
	=		+
		2m		2

Можно показать, что площадь эллипса (произведение полуосей на ) равна

/ , где – собственная частота колебаний осциллятора.

•Вместе с тем, площадь внутри фазовой траектории в классической физике называется «действием» и вычисляется как

p dq

(это нетрудно продемонстрировать геометрически).

•Итого:

p dq = /

3

•vk.com/club152685050Зоммерфельд сопоставил| vk.com/id446425943эти известные факты с постулатом Планка для энергий разрешенных состояний

n=nh , что можно записать как

n / = n h .

•В совокупности это дает для одномерного случая

p dq = nh	.

•Зоммерфельд распространил это условие квантования (выделения разрешенных состояний) с гармонического осциллятора на любые системы.

•Нетрудно видеть, что постулированное Бором условие квантования

Ln = mvn rn = n ħ

является частным случаем условия Зоммерфельда.

•Для электрона на круговой орбите (r =a =const) единственной координатой является полярный угол q= . В качестве обобщенного импульса следует взять момент количества движения p= L= mv r , который при движении по круговой траектории не меняется .

			2		2
nh =		p dq =		Ld =L		d =2 L	Ln= n ħ
			0		0		4

•vk.com/club152685050Однако, Зоммерфельд| vk.com/id446425943отметил, что, помимо

круговых орбит, движение электрона вокруг положительно заряженного ядра может происходить и по эллиптическим траекториям.

•При движении по эллиптической траектории

одновременно изменяются обе полярные

координаты электрона (масса m, заряд -e): полярный угол и радиус r –

расстояние до ядра (заряд +Ze, масса бесконечна).

•Следовательно, при выборе таких траекторий должны накладываться два условия квантования.

•Итак, обобщенные координаты: и r , центр координат совпадает с ядром.

•Чтобы выбрать соответствующие обобщенные

импульсы, запишем выражение для кинетической энергии через компоненты скорости в полярных

	координатах:		m	2	2 2
	EK	=				)
			2	(r	+ r
						5

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

E

=

m

(r

+ r

)

2

2

2

, где

r

и

– производные от координат по времени.

K

2

•Обобщенные импульсы выразятся как:

pr = ErK = mr

p =		= mr	= L = const
	EK	2		– один из законов Кеплера (центральная
				сила не изменяет момент импульса, т.к.
				момент силы =0).

•Другой закон Кеплера – по сути дела, закон сохранения энергии. Выражение для энергии (суммы кинетической и потенциальных энергий) через выбранные обобщенные координаты и импульсы:

	= EK		Ze2			pr2 + ( p2 / r 2 )		Ze2
		−			=		−			(*)
									0r
			2	0r		2m		2

•Остается определить «разрешенные» значения энергии, определив входящие в это выражение величины из условий квантования.

6