Атомная (прикладная) физика

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•То, что при малых длинах волн (больших /T ) формула Планка

	( ,T ) =	C 3
					−1
		exp	T

переходит в формулу Вина		( ,T ) = C 3 exp		−
					T

достаточно очевидна -- единица в знаменателе становится малой в сравнении с экспонентой.

9

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

При больших длинах волн (малых /T ) экспоненту в знаменателе формулы Планка

можно разложить в ряд, ограничившись первым членом.

exp(x) 1+x (при х<<1). Получим:

При должном выборе постоянных это соответствует формуле Рэлея-Джинса:

(кстати, это частично помогает в определении постоянных).

	( ,T ) =	C 3
					−1
		exp	T

( ,T ) C 2T

	= kT	8 2
		c3

10

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• Очевидно, что формула Планка	( ,T ) =	C 3
					−1
		exp	T

соответствует закону смещения Вина в общей форме

( , T) = 3 f ( /T)

Поскольку закон смещения Вина следует из термодинамического рассмотрения, он и должен выполняться.

Но:

Хотя справедливость формулы Планка не вызывала сомнений, у нее не было никакой физической интерпретации.

Поначалу она была лишь результатом «подгонки» под экспериментальные

данные (что говорит о ключевой роли качественно проведенного эксперимента).

Физическую интерпретацию вскоре предложил сам Планк.

И она во многом изменила физику – не потому, что этого кто-либо хотел.

11

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

3.5. Физическое обоснование формулы Планка. Кванты энергии. Постоянная Планка

Итак, было установлено, что эмпирически полученная формула Планка для спектральной плотности равновесного теплового излучения

	( ,T ) =	C 3
					−1
		exp	T

• хорошо описывает экспериментальные кривые спектральной плотности;

• удовлетворяет требованиям закона смещения Вина в общей форме (может быть представлена в виде ( , T) = 3 f ( /T) ) и потому согласуется с экспериментально подтвержденными законом Стефана-Больцмана (e= T4)

и законом смещения Вина в частной форме ( maxT=b);

• в пределе высоких частот формула Планка асимптотически приближается к

закону излучения Вина	( ,T ) = C 3 exp		−
					,
				T

• а в пределе низких частот – к формуле Рэлея-Джинса		= kT	8	2

	c3
	1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•Асимптотическое согласие с формулой Рэлея-Джинса особенно ценно, поскольку эта формула (при всех своих недостатках) была получена в результате достаточно последовательного и корректного рассмотрения весьма общего характера.

•Требовалось определить:

каким образом можно изменить базовые физические положения, использованные при выводе формулы Рэлея-Джинса, чтобы в результате такого же рассмотрения прийти к формуле Планка?

Своего рода, решение обратной задачи.

•Эта задача была решена самим Планком.

2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• Прежде всего, Планк перешел от рассмотрения равновесного излучения к рассмотрению излучающих объектов. В качестве простейшего – выбрал систему заряженных гармонических осцилляторов. Показал, что они могут находиться в равновесии с излучением – излучают те же частоты, что и поглощают.

• Далее он показал, что желаемая формула получается, если предположить, что:

(из доклада М. Планка 14 декабря 1900 г.) Иными словами:

осцилляторы каждого вида (с каждой собственной частотой) могут находиться только в состояниях с дискретными (отдельными разрешенными) значениями

энергии 0, , 2 , 3 , … ( >0).

Величину Планк назвал «квантом энергии».

3

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• При излучении и поглощении энергии осцилляторы переходят из одного из разрешенных дискретных состояний в другое скачком, минуя промежуточные состояния.

• Если осцилляторы находятся в равновесии с излучением, то свойство дискретности энергии относится и к излучению соответствующих частот – ведь энергия излучения передается им от вещества (осцилляторов). Получается, что она передается им только дискретными порциями, а

потому также может принимать лишь дискретные значения, кратные .

•Почему это важно?

Потому, что позволяет «обойти» закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы, приводящий к формуле Рэлея-Джинса.

4

vk• .com/club152685050При выводе формулы| vk.com/id446425943Рэлея-Джинса мы видели, что число степеней свободы, приходящихся на частотный интервал d растет с ростом

(d и пропорциональны dq и q).

•Приняв, что энергии, приходящиеся на все степени свободы, одинаковы, мы

получили неограниченный рост спектральной плотности с частотой.

•Предположение Планка позволяет уменьшить величины энергии, приходящиеся на «высокочастотные» степени свободы, и таким образом ограничить спектральную плотность для высоких частот.

5

vkНестрогое.com/club152685050рассуждение| vk.com/id446425943:

•При выводе формулы Рэлея-Джинса мы записывали для мод колебаний поля в кубической полости

размера L:

EE0 sin(qx x) sin(qy y) sin(qz z) cos( t + 0 )

•При этом граничные условия определяли дискретность разрешенных значений волновых=

чисел:		mx ;			my			mz
qx	=		qy	=		; qz	=
		L			L			L

•Амплитуды (и энергии) мод колебаний считались произвольными. Это создавало «степень свободы».

•По предложению Планка, значения энергии становятся дискретными («несвободными»). Это уменьшает среднюю величину энергии, приходящуюся на моду колебаний.

•Если разрешено всего одно значение энергии – это равносильно нулевой энергии излучения (ее нельзя передать). Чем мягче ограничение (больше разрешенных значений), тем большей средней энергии моды колебаний

можно ожидать. При снятии ограничений – она окажется равной kT.	6

vkКоличественное.com/club152685050рассмотрение| vk.com/id446425943:

•В статистической физике величина средней энергии, равная kT, для объекта (осциллятора) со сплошным (недискретным) спектром возможных значений энергии получается усреднением распределения Больцмана. Для него

вероятность обнаружить текущее значение энергии в диапазоне [ ; +d ]

равна:
	dw = A exp	−			d
			kT

A – нормировочный множитель, величина которого задается равенством единице интеграла под кривой (вероятности наблюдения любой энергии).

•Среднее значение энергии (по определению

	среднего) равно:			+
				dw
				0
			=
				+
				dw
				0

(знаменатель определяет

нормировку при любом A)

7