|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
• Подставим |
dw = A exp |
− |
|
|
|
d |
в определение средней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
энергии, перейдем к переменной |
x= /(kT) , получим: |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x exp( −x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= kT |
0 |
|
= kT |
|
|
|
(оба табличных интеграла в формуле =1) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp( −x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
•Таким образом, теорема о равномерном распределении энергии в статфизике оказывается просто следствием использования распределения Больцмана для вероятностей.
•Используя этот результат для вычисления спектральной плотности энергии равновесного излучения или линейных осцилляторов – неизбежно придем к формуле Рэлея-Джинса.
•vk.com/club152685050Посмотрим, что| vkизменится.com/id446425943, если значения энергии дискретны («квантованы»): разрешены лишь значения n=n (теперь -- величина «кванта» энергии).
• Вероятности обнаружения каждого из этих значений энергии вновь
определяются распределением, которое теперь примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
wn |
= A1 exp |
− |
|
|
, |
|
|
|
|
kT |
|
A1 – нормировочный коэффициент.
•Среднее значение энергии может быть получено суммированием по всем разрешенным состояниям:
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n wn |
|
x + 2x |
2 |
+ 3x |
3 |
+ ... |
|
|
|
= |
n=0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 + x + x2 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
x = exp |
− |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
|
|
n wn |
|
x + 2x |
2 |
+ 3x |
3 |
+ ... |
|
|
|
= |
n=0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 + x + x2 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn |
|
|
|
|
|
|
|
n=0
•Знаменатель этого выражения – геометрическая прогрессия с суммой, равной
1/(1 – x) .
•Вычислить сумму в числителе дроби несколько сложнее:
=−
•Поскольку x exp , для средней энергии получим:
kT
•При малых величинах кванта энергии ( <<kT) экспоненту можно представить:
exp( /(kT)) 1+ ( /(kT)). Тогда для средней энергии колебания:
kT -- как это и было без учета квантования.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
• В то же время, при >>kT средняя |
|
|
энергия колебания окажется малой |
|
(→0). Чего и хотелось добиться для |
|
высокочастотных мод колебаний. |
|
• Почему так происходит, можно пояснить |
|
с помощью рисунка (распределение |
|
Больцмана для >>kT ) |
•Вероятность обнаружить ненулевую энергию мала. Поэтому мала и средняя энергия.
•При выводе формулы Рэлея-Джинса число степеней свободы, приходящихся на единичный частотный вблизи частоты , мы домножили на kT (считая, что это и есть средняя энергия одной моды колебаний поля) и получили для
спектральной плотности равновесного излучения: |
= kT 8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
• Теперь в этой формуле мы просто заменим kT на найденное значение средней |
|
|
|
. |
энергии одной моды колебаний (с учетом дискретности энергии) |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
8 2 |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
• Получим |
|
( ,T ) = |
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
•Пока что в этой формуле никак не задана зависимость величины кванта энергии от частоты излучения . Но нигде ранее не требовалось, чтобы такая зависимость отсутствовала.
•Будет естественным определить зависимость ( ) таким образом, чтобы формула для спектральной плотности удовлетворяла закону смещения Вина
в общей форме ( , T) = 3 f ( /T) .
Тогда, как было показано ранее, полученная формула будет согласована с экспериментально подтвержденными законами Стефана-Больцмана и смещения Вина ( maxT=b).
•Для такого соответствия требуется положить ~ или
= h |
, h – постоянная Планка, новая мировая константа. |
•То, что величина кванта энергии растет с частотой, соответствует потребности
уменьшить вклад высокочастотных мод колебаний в равновесное тепловое |
|
излучение. |
12 |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
|
|
• Закон излучения Планка: |
|
8 3 |
|
|
1 |
|
|
|
( ,T ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
h |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
•Полностью соответствует экспериментальным данным и ограничениям, накладываемых термодинамикой.
•Для его физического обоснования потребовался отход от представлений классической физики – о непрерывном характере изменения динамических переменных, в данном случае – энергии. Эти представления («здравый смысл») оказались неприменимыми на микроуровне.
•Отход от классических представлений был вынужденным. Планк постарался его минимизировать – свел к единственному новому утверждению о дискретности возможных значений энергии ансамбля осцилляторов. Было показано, что этого достаточно для согласия с экспериментальными данными.
•Сам Планк не применял представления о дискретности разрешенных значений энергии к излучению. Фотонная теория излучения была предложена позднее – Эйнштейном. Первоначально дискретность энергии считалась «техническим» приемом, не несущим физического смысла.
• Тем не менее, невозможно представить себе обмен энергии (излучение и
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
поглощение) между веществом с дискретным спектром разрешенных энергий и излучением, для которого разрешены любые порции энергии и энергия которому должна передаваться непрерывно.
•Представление о дискретности «разрешенных» энергии и других динамических переменных микроскопических объектов – одна из основ атомной физики. Позволила, в числе прочего, создать непротиворечивую модель атома.
•Отсутствие обоснования природы «разрешений» и «запретов», накладываемых с единственной целью достижения согласия с экспериментом – характерная черта «новой физики», определившая ее успех.
• Предложенная Планком (как бы, между делом) формула = h оказалась одной из основных формул современной физической науки.
•Современное значение постоянной Планка:
Ее размерность совпадает с размерностью физической величины «действие». Отсюда выражение «квант действия».
•Ту же размерность имеет момент количества движения. Для микрообъектов он действительно может принимать только дискретные значения,
• В 1900 г. значение постоянной Больцмана k, входящей в закон излучения
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Планка, было неизвестно. Однако, из экспериментальных данных были определены постоянные Вина b и Стефана-Больцмана .
•Это позволило Планку найти значения h и k с точностью около 2%.
•Поскольку постоянная Больцмана связана с хорошо известной универсальной газовой постоянной R соотношением k=R NA , Планк смог определить значение числа Авогадро NA .
•Далее оказалось возможным определить величину элементарного электрического заряда – из соотношения для постоянной Фарадея F (для электролиза) e=F/ NA .
•Все это на основании анализа экспериментальных данных, касающихся излучения черного тела (!).
•Лишь в 1908 г. Перрен определил число Авогадро более прямым способом. В 1909 г. Милликен экспериментально измерил величину элементарного электрического заряда.
•Полученные значения в пределах экспериментальной точности совпали со значениями, полученными Планком. Только после этого теория Планка
vkРаздел.com/club1526850504. Фотонная| vk.com/id446425943теория
4.1. Фотоэффект. Законы фотоэффекта и их несоответствие электромагнитной теории света
Использован учебник: Фаддеев М.А., Чупрунов Е.В. Лекции по атомной физике (2008, Физматлит).
•Результаты изучения равновесного теплового излучения не привели к немедленному признанию дискретной (корпускулярной ?) природы электромагнитных волн. В пользу непрерывности говорила их способность к интерференции.
•Даже сам М. Планк не пошел дальше представления о том, что электромагнитные волны излучаются порциям – считая, что в пространстве они уже непрерывны.
•Эйнштейн в 1905 г. рассмотрел вопрос о флуктуациях ЭМ излучения и показал, что в области действия закона излучения Вина (при малых длинах волн) получаемая формула полностью соответствует формуле для флуктуаций числа частиц идеального газа – если числу частиц сопоставить число порций излучения с энергией h . Эйнштейн трактовал этот факт как свидетельство того, что электромагнитное излучение всегда существует в виде квантов. Но признания эта точка зрения сразу не получила.
•Наиболее убедительные доказательства фотонной теории электромагнитного излучения были получены при изучении фотоэффекта.
Фотоэффектvk.com/club152685050– явление| vk.com/id446425943выхода электронов из вещества под действием электромагнитного излучения.
(Если быть точным, это – определение внешнего фотоэффекта для конденсированных
веществ.)
•В 1887 г. Г. Герц обнаружил, что освещение шариков искрового разрядника ультрафиолетовым (УФ) светом облегчает получение искры.
•В работах А.Г. Столетова (ученика Кирхгофа) 1888-1890 гг. проведено подробное исследование фотоэффекта и
сформулированы основные его законы – еще до открытия электрона.
«Конденсатор Столетова» (фотоэлемент).
В вакуумной колбе два
металлических электрода, один из которых («C») сетчатый. Электрод «D» -- цинковый.
S – источник УФ излучения, вольтова дуга. Излучение попадает в колбу через кварцевое окошко.
Александр Григорьевич Столетов (1839-1896) 2
