Атомная (прикладная) физика

x p 2 ħ

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 x ~

Здесь x и px – величины неопределенности координаты частицы и проекции

ее импульса на ту же ось.

•Подобные соотношения независимо друг от друга должны действовать и для двух других осей:

y p	2 ħ	и	z p	z	2 ħ
	y ~				~

•Неравенства должны выполняться «по порядку величины», поэтому множитель 2 иногда опускают.

•Постулируется связь между величинами неопределенности определения (это

слово может иметь разные значения) сопряженных характеристик микрообъекта.

•Микрочастица не может одновременно иметь точных значений координат и импульса. Поэтому ее движение не может быть охарактеризовано точной траекторией – так же, как траекторией не может характеризоваться распространение волн.

•К примеру, если координата частицы точно задана, соответствующая проекция импульса полностью неопределена (может принимать произвольные

значения). И наоборот – определение точного значения проекции импульса

частицы приводит к утрате информации о соответствующей координате.	5

•vk.com/club152685050По Гейзенбергу|,vkпринцип.com/id446425943неопределенности выражает фундаментальный закон природы, доказываемый совокупностью наблюдений.

•Трактовки принципа неопределенности могут различаться в зависимости от используемой модели описания микрообъектов.

•В рамках квантовой механики принцип неопределенности выводится как следствие ее постулатов. Доказываемому утверждение, согласно которому для тех состояний электрона, для которых точно определена его координата, не определено (математически не имеет конкретного значения) величина соответствующей проекции его импульса, и наоборот.

•Еще один подход к трактовке соотношения неопределенностей состоит в прямом учете волновых эффектов, связанных с представлением частицы в качестве пакета волн вероятности.

•Неопределенность координаты отождествляют с пространственным размером пакета x (по ширине главного максимума). Неопределенность импульса связывают с шириной используемого при построении пакета интервала значений волнового вектора k.

6

•vk.com/club152685050Уже отмечалось| vk, что.com/id446425943параметры

волнового пакета связаны как:

x k=2

•Положив px= ħ k , получаем выражение, формально совпадающее с соотношением неопределенностей (но в виде равенства):

x px = 2 ħ

•Один из предельных случаев – гармоническая волна де Бройля, для которой волновой вектор (импульс) точно определен, а плотность вероятности обнаружения частицы распределена равномерно (равна A2 при всех x).

(x, t) = Аexp[i (kx − t)]

•Другой предельный случай – «точечный» пакет волн с неограниченным частотным спектром (интервалом волновых чисел).

7

•vk.com/club152685050Таким образом,| vkв .даннойcom/id446425943интерпретации соотношение неопределенностей представляется следствием свойств преобразования Фурье, описывающего связь функций с их пространственными частотами (волновыми числами).

•Для корпускул «в классическом понимании» соотношение неопределенностей может выражать принципиальную невозможность точного измерения (при использовании сколь угодно совершенной техники) пары входящих в нее величин для одного микрообъекта. Предполагается, что сам факт измерения одной из таких величин вносит непредсказуемую погрешность в результат измерения второй величины.

При этом невозможность измерения точных значений отождествляется с их несуществованием.

•Для обоснования соотношений неопределенности без использования математического аппарата квантовой механики часто проводят рассмотрение нескольких видов идеализированных «мысленных экспериментов».

•Их цель – показать, что принцип не вносит в теорию внутренних противоречий

(его справедливость таким способом доказана быть не может).

8

vkОдин.com/club152685050из мысленных| vk.com/id446425943экспериментов

состоит в следующем:

•Пусть электроны с известным импульсом p, ориентированным вдоль горизонтальной оси Y, направляются на непрозрачную перегородку со щелью шириной d. За щелью расположен экран, позволяющий регистрировать

распределение пришедших на него электронов вдоль вертикальной оси X.

•Наличие у электронов волновых свойств приведет к уширению их распределения на

экране I(x) из-за явления дифракции на отверстии. На рисунке это распределение (точнее,

его основной максимум) представлено условно. Предполагается, что его полная ширина >>d .

•Угловую ширину этого распределения (по положению первого «нуля») можно определить из соотношения:

d sin = , где – длина волны де Бройля для электрона с импульсом p = ħk= ħ 2 /

9

• Рассматривая электроны как

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

частицы, мы можем трактовать их отклонение от центра экрана как свидетельство получения ими вертикальной составляющей импульса, отсутствовавшей у них до прохождения щели.

•Величина этой составляющей различна у различных электронов, ее

неопределенность (ширина статистического распределения) за щелью составляет:

px=p sin .

•Факт прохождения электрона через щель позволяет считать, что неопределенность его вертикальной координаты за щелью составляет x = d .

•Комбинируя приведенные формулы, приходим к соотношению, формально совпадающему с соотношением неопределенностей (с заменой неравенства на равенство):

x px = 2 ħ

• Неопределенность координаты можно уменьшить, сузив щель. Однако при этом

увеличится ширина дифракционной картины и, как следствие – величина px.

10

Другой мысленный эксперимент, предложенный самим

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Гейзенбергом:

•Рассмотрим возможность измерения координаты (x) электрона или другой микрочастицы при помощи микроскопа.

•Пусть электрон (электроны) движется перпендикулярно плоскости рисунка. Для определения его координаты x будем использовать монохроматический свет с длиной волны свет с длиной волны . →

•Рассеянное электроном излучение будем собираться с помощью микроскопа и формировать изображение (дифракционный максимум конечной ширины) в плоскости фокусировки QQ. Здесь окажется излучение, рассеянное

электроном под всеми углами в пределах угла , задаваемого апертурой объектива. →

• Наилучшая возможная точность измерения координаты (пространственное разрешение) x определяется шириной дифракционного максимума и задается известной из оптики

	формулой:
	x =
		2 sin

11

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

x = 2 sin

•Таким образом, для улучшения точности измерения координаты следует увеличивать угол сбора излучения микроскопом и уменьшать длину волны излучения.

•Пусть теперь мы решили измерить проекцию импульса

электрона px. Для этого можно дважды последовательно произвести измерение его координаты x, получив значение проекции скорости (масса электрона известна).

•Однако следует учесть, что уже при первом измерении координаты проекция импульса изменится: при рассеянии электрону будет передана часть импульса фотона. →

•Ее величина зависит от угла рассеяния , который неизвестен: все фотоны, рассеянные под углами от – до , собираются микроскопом в один дифракционный максимум.

•Из рисунка ясно, что неопределенность проекции импульса, полученной электроном уже при первом измерении его координаты, составит

px = 2 2 sin

12

vk.com/club1526850502 | vk.com/id446425943

px = 2 sin

•Согласно этой формуле, для улучшения точности измерения проекции импульса следует уменьшить угол сбора излучения (уменьшить его неопределенность) и увеличить длину волны излучения.

•Таким образом, пути достижения лучшей точности измерений координаты и проекции импульса электрона прямо противоположны.

•Нетрудно видеть, что произведение наименьших принципиально достижимых величин погрешности измерений вновь получена соответствует формуле соотношения неопределенностей:

x px = 2 ħ

•Выполненный Н. Бором (в полемике с Эйнштейном) анализ многих мысленных экспериментов показал, что такая ситуация является всеобщей. При рассмотрении измерений параметров микроскопических объектов нельзя пренебрегать искажениями, вносимыми самим процессом измерений, поскольку они, в силу всеобщей дискретности, не могут быть сделаны бесконечно малыми.

•Вместе с тем, эта закономерность не должна рассматриваться в качестве «природного» ограничения самого процесса познания – получения информации о реально существующих характеристиках реальных объектов.

13

• Как будет показано далее, в квантовой механике многим возможным состояниям

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

квантовых систем не соответствуют конкретные (точно определенные) значения привычных нам макроскопических параметров.

•Существуют состояния, для которых определены точные значения координат объекта или его импульса. Однако, как оказалось, ни для каких состояний точные значения координат и импульса не определены одновременно.

•Таким образом, сами понятия координат и импульса просто не вполне «хороши» (релевантны) для описания микросистем. Состояние системы может быть вполне определенным, но (в отличие от более «интуитивно понятного» идеального объекта – материальной точки) не характеризоваться точными значениями координат и импульса.

•При проведении измерений импульса (волнового вектора) и дифракционных экспериментов создают такие условия, что квантовая система оказывается наиболее близкой к состоянию, для которого определенными являются волновые числа (проекции волнового вектора). При этом проявляются волновые свойства микрочастиц, в частности, их способность к дифракции. Траектории частиц, напротив, не могут быть определены.

•Чтобы локализовать частицу (например, установить, через какое отверстие она прошла

или с каким атомом кристаллической решетки взаимодействовала), требуется внести изменения в схему измерений, направленные на перевод квантовой системы в состояние, для которого лучше определены координаты частиц. При этом точные

значения импульсов (волновых чисел) утрачиваются – как в мысленном эксперименте с

микроскопом – и дифракционные картины пропадают.	14