5vk.7.com/club152685050. Вывод Эйнштейном| vk.com/id446425943формулы Планка для равновесного теплового
излучения. Спонтанное и вынужденное излучение
•В 1916 г. Эйнштейн предложил свой способ вывода формулы Планка для равновесного теплового излучения:
,T )
−
exp 1
kT
•Вывод опирался на постулаты Бора и фотонную теорию.
•Использовался метод построения решения «от известного ответа»: были сформулированы гипотезы, справедливость которых обосновывалась их необходимостью для получения заранее известной конечной формулы.
•Эти гипотезы впоследствии подтвердились.c3 h( =
•vk.com/club152685050Рассмотрим равновесное| vk.com/id446425943тепловое излучение газа температуры T, состоящего из не взаимодействующих (иначе, чем посредством излучения) одинаковых атомов или молекул.
•Пусть для атомов разрешены лишь два состояния 1 и 2 с энергиями 1 и 2 ( 1< 2 ).
•Переход между этими состояниями возможен с испусканием или поглощением
фотона с энергией h = 2 – 1 .
•Пусть состояния невырождены. (Учет возможного вырождения несложен, но
соответствующие коэффициенты загромождают формулы.) Тогда, в соответствии с
распределением Больцмана, отношение количеств атомов в состояниях 1 и 2:
|
|
1 |
|
|
– |
|
|
N |
|
|
E |
− E |
|
|
|
|
= exp |
2 |
1 |
|
|
N2 |
kT |
|
|
|
•Эйнштейн показал, что формула Планка может быть получена, если принять определенные гипотезы о характере взаимодействия излучения с веществом. В частности, переходы между состояниями должны происходить в результате
трех независимых процессов: спонтанного излучения, поглощения и стимулированного излучения фотонов.
•vk.com/club152685050Спонтанное излучение| vk.com/id446425943– недетерминированный
(вероятностный) процесс, переводящий атом из состояния 2 в состояние 1.
•Для отдельного атома, находящегося в состоянии 2, вероятность такого перехода в течение временного интервала dt не зависит от времени, но пропорциональна величине интервала.
•Коэффициент пропорциональности («плотность вероятности перехода») обозначим как A21 .
•Если спонтанное излучение – единственный (или доминирующий) механизм переходов, число возбужденных атомов будет убывать по закону:
– dN2=A21N2 dt N2=N20 exp(–A21t), ( N20 – постоянная)
• Интенсивность излучения возбужденного газа (число переходов) также будет убывать экспоненциально.
• В классической физике излучение ансамбля колеблющихся диполей также убывает со временем. Но природа этого явления иная. Закономерно убывает амплитуда колебаний каждого диполя.
• По Эйнштейну, спонтанное излучение подчиняется статистически законам
(недетерминировано).
3
•vk.com/club152685050Поглощение – переводит| vk.com/id446425943атом из состояния 1 в
состояние 2.
•Для отдельного атома, находящегося в состоянии 1, вероятность поглощения в единицу времени Эйнштейн счел пропорциональной спектральной
плотности излучения , то есть, числу “падающих” фотонов требуемой частоты.
Это предположение кажется естественным.
•Изменение числа атомов в состоянии 1 за время dt:
– dN = B |
N dt , |
где B |
12 |
– коэффициент вероятности Эйнштейна для |
1 |
12 |
1 |
|
|
поглощения.
•Таким образом, в описании Эйнштейна, в отличие от классического описания, процесс поглощения энергии атомом имеет 1) дискретный и 2) недетерминированный (вероятностный) характер.
•Если ограничиться двумя указанными процессами, для спектра равновесного излучения получится закон излучения Вина. Чтобы получить формулу Планка, требуется предположить возможность еще одного механизма переходов.
•vk.com/club152685050Вынужденное (|индуцированноеvk.com/id446425943 ,
стимулированное) излучение – переводит атом из состояния 2 в состояние 1 в результате воздействия фотона. При этом излучается еще один фотон, эквивалентный воздействующему.
•Процесс аналогичен поглощению, которое также является «вынужденным». Но противоположен по направленности.
•Можно предположить, что для отдельно взятого атома вероятность вынужденного перехода 2→1 в единицу времени будет пропорциональной
спектральной плотности излучения (числу фотонов): B21 .
B21 – коэффициент вероятности Эйнштейна для вынужденного излучения.
•Изменение числа атомов в состоянии 2 за счет вынужденного излучения:
–dN2= B21 N2 dt .
•В условиях равновесия количества переходов 1→2 и 2→1 в единицу времени должны быть одинаковы. Поэтому:
|
|
|
|
|
N |
1 |
|
B |
|
|
N (A +B |
) = B |
N |
|
или |
|
= |
|
12 |
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
2 21 |
21 |
12 |
|
N |
|
|
A |
+ B |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
21 |
|
|
|
N |
|
|
B |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
1 |
= |
|
12 |
|
|
N |
2 |
A |
+ B |
|
|
|
|
|
21 |
21 |
•Но, как уже указывалось, больцмановское распределение для условий равновесия дает
N |
1 |
|
|
– |
|
|
N |
1 |
h |
|
|
E |
− E |
|
|
|
= exp |
|
|
|
|
= exp |
2 |
1 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
kT |
|
|
N |
2 |
kT |
•Можно получить выражение для спектральной плотности излучения:
= A21 . (*)
B12 exp( hv / kT ) − B21
•Соотношения между коэффициентами Эйнштейна можно определить из дополнительных соображений.
•Потребуем, чтобы, в соответствии с опытными данными, спектральная плотность → при T → .
В(*) для этого должен обращаться в 0 знаменатель. Следовательно,
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 h kT
• В том же пределе высоких температур (или низких частот) << экспоненту в полученной формуле
= A21 / B12
exp( hv / kT ) −1
можно приближенно представить как exp(h /kT) 1+ h /(kT) .
И получить в пределе: |
A21 |
kT |
= |
|
B12 |
|
h |
|
|
Потребуем, чтобы оно было эквивалентно формуле Рэлея-Джинса:
Это позволяет определить отношение коэффициентов Эйнштейна:
A21 = 8 h 3
B12 c3
•С учетом этого, для произвольного соотношения температур и частот придем к закону излучения Планка:
= |
8 3 |
|
1 |
|
|
|
c3 |
|
exp( h / kT ) −1 |
|
|
vkНесколько.com/club152685050обстоятельств| vk.com/id446425943, относящихся к обсуждаемой модели излучения:
•И спонтанные, и индуцированные переходы, приводящие к излучению фотона, являются недетерминированными. Однако, между ними есть значительное различие. При спонтанном излучении направление испускания фотона случайно. При вынужденном излучении вектор импульса излученного фотона в точности равен вектору импульса вынуждающего.
•Мы не доказывали это свойство, но его нетрудно понять на качественном уровне, если считать поглощение и вынужденное излучение противоположными процессами. Можно ожидать, что изменение всех характеристик участвующих в процессах фотонов для них будет противоположным (исчезновение/появление фотона, идентичного исходному) .
•Гипотеза Эйнштейна о спонтанных и вынужденных переходах указала направление решения проблемы описания интенсивности спектральных линий – они должны быть пропорциональны вероятностям переходов атомов между соответствующими энергетическими состояниями.
•vk.com/club152685050Грубый анализ |относительногоvk.com/id446425943вклада рассмотренных процессов в тепловое излучение можно провести на основании «промежуточной» формулы:
= |
|
A21 |
. |
|
|
|
B12 |
exp( hv / kT ) − B21 |
|
|
|
•Для коротковолновой части спектра (h >>kT ), в области действия закона излучения Вина, второе слагаемое знаменателя, соответствующее вкладу
вынужденного излучения, мало по сравнению с первым (помним, что B12=B21), описывающим вклад поглощения. Поглощение и спонтанное излучение (числитель) приблизительно уравновешивают друг друга. Малость вынужденного излучения определяется малой заселенностью (в соответствии с распределением Больцмана) верхнего состояния для энергетического
расстояния между уровнями 2 – 1= h >>kT.
•Условие h >>kT выполняется, например, для видимого излучения почти при любых достижимых температурах.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943A |
= |
|
21 |
|
|
|
B12 |
exp( hv / kT ) − B21 |
|
•В длинноволновом пределе (h <<kT ), где справедлива формула РэлеяДжинса, экспонента близка к единице. Следовательно, вклады поглощения (первый член знаменателя) и вынужденного излучения (второй член) близки по величине и противоположны по знаку. Эти противоположные процессы почти компенсируют друг друга. При этом малой является их разность, соответствующая вкладу спонтанного излучения.
•Близость скоростей поглощения и стимулированного излучения определяется
близостью энергий энергетических состояний 1 и 2: |
2 – 1= h <<kT . |
•Следствием этого является почти равная их заселенность – в соответствии с распределением Больцмана.
•Тем не менее, в равновесии населенность состояния с меньшей энергией всегда превышает населенность состояния с большей энергией – хотя бы
ненамного (N1> N2 ). Поэтому, несмотря на равенство коэффициентов
B21=B12, поглощение всегда превалирует над вынужденным излучением:
B12 N1 > B21 N2
