Атомная (прикладная) физика

vk.com/club152685050Оператор момента| vk.com/id446425943импульса

• В классической физике момент импульса – один из основных интегралов движения (сохраняющихся величин). Для частицы с определенными

координатами и импульсом представляется в виде векторного произведения:

L [r p]

=

•Его декартовы проекции: Lx=y pz – z py ; Ly=z px

•Им можно сопоставить операторы:

ˆ

L

x

= −i y

− z

,

ˆ

= −i z

− x

z

Ly

x

y

z

– x pz и Lz=x py – y px .

	ˆ
и	L	= −i x		− y		.
	z		y
					x

•Нетрудно показать, что эти операторы не коммутируют друг с другом:

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

,

[Lx

, Ly

] Lx Ly

− Ly Lx

= i Lz

[Ly

, Lz

] Ly Lz

− Lz Ly

= i Lx

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

[Lz

, Lx

] Lz

Lx

− Lx

Lz

= i Ly

• Следовательно, у них нет общих собственных функций и нет состояний, в которых значения хотя бы двух проекций момента импульса были бы

одновременно определены.

• Следовательно, полный вектор момента импульса L в волновой механике

не может быть определен (не может иметь определенного значения).

17

•vk.com/club152685050Вместе с тем, как| vk.оказываетсяcom/id446425943, может быть определен квадрат момента

импульса. Его вид:

2

2

2

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

= −

y

+ x

L

= L

x

+ L

y

+ L

z

− z

+ z

− x

− y

z

x

z

y

y

x

•Можно показать, что он коммутирует с любой из своих проекций:

ˆ	ˆ2	ˆ	ˆ2	ˆ	ˆ2
[Lx	, L ] = [Ly		, L ] = [Lz		, L ] = 0

•Следовательно, существуют состояния, для которых одновременно определены квадрат (а значит, и модуль) момента импульса и одна из его проекций.

•Можно условно (!!) представить себе ситуацию прецессии (вращения) вектора момента вокруг

некоторого направления, при которой его проекция на это направление сохраняется. В действительности, в волновой механике никакого вращения вектора момента не происходит – как не происходит движения частицы в состояниях, где ее координаты не определены.

•Можно вспомнить, что в модели атома водорода Бора-Зоммерфельда два из трех квантовых чисел определяли именно модуль и проекцию момента количества движения на выбранное направление.

18

6.6. Основные положения волновой механики Шредингера. Стационарные

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

состояния микрообъектов

Общая логическая структура волновой механики Шредингера может быть представлена в виде следующих основных положений (постулатов), даваемых ниже в формулировке рекомендованного учебника (А.А. Матышева).

(Комментарии:)

• Поскольку в общем случае волновая функция задается в пространстве размерности >3, она представляет собой чисто математический объект.

• Измерить (многократным повторением одного и того же эксперимента) можно лишь квадрат модуля волновой функции, имеющий смысл плотности вероятности. Следовательно, волновая функция определяется с точностью до

фазового множителя exp (i ), где -- вещественная величина.

1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• При конструировании операторов используются нерелятивистские соотношения – например, p2/2m для кинетической энергии.

• Операторы не сопоставляются времени, а также сохраняющимся величинам, характеризующим микрообъект, но не его состояние -- электрическому заряду

и массе.

2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•Пример процедуры приготовления начального состояния для простейшей системы – перевод гармонического осциллятора в возбужденное состояние при поглощении фотона. Он не описывается волновой механикой.

•Несмотря на недетерминированность поведения микрообъекта, поведение его волновой функции при задании начальных условий полностью детерминировано – описывается временным уравнением Шредингера. В этом состоит специфика реализации принципа причинности в квантовой механике. 3

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

•Выражение в скобках как раз и представляет собой символическую запись для коэффициента разложения волновой функции в ряд по собственным функциям оператора n .

•Данное положение может быть обобщено и на случай непрерывного спектра (собственных значений) оператора. В этом случае вместо ряда будет фигурировать интеграл.

4

• Согласно Положению 4, результат эксперимента по определению величины

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

наблюдаемой характеристики микрообъекта детерминирован, только если его волновая функция совпадает с собственной функцией соответствующего оператора. Для этого требуются особая процедура приготовления состояния объекта. Эта процедура является частью процесса измерения.

•Состояния могут не совпадать с собственными функциями операторов, но быть математически близким к ним. Например, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля в бесконечном пространстве. Собственные функции оператора координаты имеют вид дельта-функций. На практике ни то, ни другое не может быть реализовано в точности. Однако, можно приготовить состояния с волновыми функциями, близкими у плоским волнам или дельта-функциям, для которых вероятность получения определенного значения проекции импульса или координаты близка к единице.

•В состояниях, описываемых волновыми функциями, близкими к плоским волнам, микрообъекты проявляют преимущественно волновые свойства. Такие состояния приготавливаются для проведения дифракционных экспериментов.

•В состояниях с волновыми функциями, близкими к дельта-функциям, микрообъекты локализованы в пространстве, подобно классическим частицам.

5

• Разным наблюдаемым характеристикам соответствуют разные операторы,

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

обладающие разными наборами собственных функций. Собственные функции некоторых операторов совпадают, что позволяет в одном и том же состоянии точно определять некоторые наборы величин – например, модуль момента импульса, его проекцию и энергию а атоме водорода (см. в соответствующей лекции).

•У некоммутирующих операторов нет общих собственных функций. Для соответствующих пар динамических характеристик не могут быть приготовлены состояния, в которых обе такие величины одновременно имели бы точные значения.

•Наиболее значимый пример – координата и соответствующая ей проекция импульса. Состояния микрообъекта, требующиеся для достоверного определения этих величин, принципиально различны. Этот факт выражается принципом неопределенности Гейзенберга. Измерение координаты требует приготовления такого состояния микрообъекта (например, с помощью диафрагмы с узкой щелью) в котором результат измерения проекции импульса максимально недетерминирован (вероятности получения любых значений сопоставимы по величине).

•Таким образом сочетание корпускулярных и волновых свойств микрообъектов

находит объяснение в волновой механике.	6

•vk.com/club152685050Среди операторов| vk.com/id446425943квантовой механики выделяется оператор Гамильтона (гамильтониан). Его вид для одного микрообъекта массы m, потенциальная энергия которого в статическом поле выражается функцией U (r ) :

ˆ	2
H = −	2m	+U (r )

•В классической физике ему соответствует функция Гамильтона, выражающая

полную энергию систему через координаты и импульсы частиц:

	p2
H (r , p) =		+U (r )
	2m

• Этот оператор присутствует в записи основного уравнения волновой механики –

временнóго уравнения Шредингера
i	(r ,t)	ˆ
	t	= H (r ,t)

•Среди всех состояний микрообъекта можно выделить стационарные состояния, для которых плотность вероятности 2 * в каждой точке не меняется во времени. При этом сама волновая функция изменяется (иначе уравнение Шредингера не имеет нетривиальных решений), и скорость ее изменения (производная) постоянна. Этим требованиям удовлетворяют функции вида:

		E		, где Е – действительная постоянная, E/ħ имеет смысл
(r , t) = (r ) exp( −i			t)	некоторой частоты, а (r ) – амплитуды осцилляций.

7

• Подставив волновую функцию стационарного состояния в указанном виде во

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

временнóе уравнение Шредингера, вычислив производную и сократив экспоненты справа и слева от знака равенства, приходим к уравнению для «амплитудной» части волновой функции стационарного состояния (r ) :

ˆ =

H (r ) E (r )

•Это уравнение называют стационарным или амплитудным уравнением Шредингера.

•(Ранее в одной из лекций те же операции в обратном порядке проделывались при

обосновании (не выводе!) временнóго уравнения Шредингера. После того, как его вид был постулирован, приведенные выкладки можно считать строгим выводом

стационарного (амплитудного) уравнения.)

ˆ =

• В виде H (r ,t) E (r ,t)

стационарное уравнение Шредингера очевидно является уравнением на собственные значения гамильтониана. Удовлетворяющие ему волновые

функции с временной частью			E
	exp	− i		t

соответствуют состояниям с определенным значением полной энергии E.

(Гамильтониан содержит только пространственные производные и «не действует» на

экспоненту, зависящую только от времени.)	8