vkСледующий.com/club152685050, несколько| vk.com/id446425943более сложный случай – нахождение стационарных состояний (собственных функций гамильтониана) для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины.
•Пусть зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид:
Обозначим путь нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана, определяющих спектр энергии частицы и волновые функции стационарных состояний.
• Выделим три пространственные области 1, 2 и 3: |
x<0, 0 x a и x>a. |
•Рассмотрим отдельно случаи E<U0 и E>U0 . Первому из них в классической физике соответствует финитный (ограниченный размерами потенциальной ямы), а второму – инфинитный характер движения частицы.
•vk.com/club152685050Рассмотрим сначала| vk.com/id446425943случай E<U0 .
•По определению, гамильтониан
выражается как:
•В рассматриваемом случае:
•После подстановки такого гамильтониана в уравнение Шредингера
ˆ =
H (x) E (x)
и алгебраических преобразований получаем для волновой функции уравнения:
где вновь
Положительный параметр ϰ определен формулой:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Действительные решения очевидны – экспоненты для 1 и 2 областей и гармонические функции для области 2. Для последующего анализа их удобно записать в виде:
Присутствующие здесь коэффициенты (постоянные интегрирования) определяются из граничных условий и условий нормировки.
•Коэффициенты A2 и B2 следует приравнять 0, чтобы волновая функция оставалась ограниченной в пределе x→ – и x→ + соответственно.
•Для вычисления оставшихся констант нужно воспользоваться свойством
непрерывности волновой функции ( 1, 2 и 3 – это одна и та же функция на различных участках оси x) и ее производной.
«Сшивка» должна производиться при x=0 и при x=a .
Получим систему уравнений для коэффициентов A A1, B B1 , A0 и .
10
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(Слева показано условие «сшивки», справа – следующее из него уравнение.)
•Деление первого уравнения на второе и третьего на четвертое дают:
•После ряда преобразований от тангенсов можно перейти к синусам:
где введено новое обозначение
•Первое из этих уравнений дает
(Постоянная изначально вводилась в уравнении
И мы, считая ее положительной, без снижения общности можем потребовать, |
|
чтобы она принадлежала интервалу [0, /2] .) |
11 |
|
•vk.com/club152685050Второе уравнение| vk.com/id446425943
при переходе к обратным тригонометрическим величинам дает:
Целочисленный параметр n появляется из-за неоднозначности решения. Далее он играет роль квантового числа.
•После подстановки из первого уравнения получаем уравнение относительно k:
•Заметим, что при E<<U0 (если энергия частицы мала по сравнению с глубиной ямы) это уравнение переходит в уравнение, полученное ранее для ямы бесконечной глубины:
(Это ясно из определений k и ϰ0 :
•vkВ.com/club152685050общем случае| vkполученное.com/id446425943
уравнение
не имеет аналитического решения. Решения можно представить
•Каждое пересечение графиков левой и правой частей уравнения соответствует одному из значений
«волнового числа» k=k1, k2, … . Количество пересечений определяется параметрами задачи
(a, m, U0).
•vkПараметр.com/club152685050 | vk.com/id446425943
не зависит от ширины ямы a.
С уменьшением ширины ямы уменьшается наклон прямой, а набор пересекаемых с ней фрагментов синусоиды не изменяется.
Точки пересечения смещаются вправо – растут значения kn, а следовательно, и энергии состояний. При этом число возможных состояний (число точек пересечения) уменьшается.
•Число локализованных состояний (с
E<U0) в яме конечной глубины конечно, но не менее 1 – для сколь угодно узкой и «мелкой» ямы (всегда есть хоть одно пересечение).
• На рисунке → → →
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
представлен качественный вид графика плотности вероятности для волновых функций двух первых локализованных стационарных состояний частицы в потенциальной яме конечной глубины.
•Основное состояние вновь соответствует квантовому числу n=1. И вновь его энергия ненулевая – выше
дна ямы.
•Внутри потенциальной ямы (0<x<a) волновые функции синусоидальны, вне ямы экспоненциально спадают. На границе этих областей (и даже за этой границей, где E<U(x) !!) плотность вероятности обнаружить частицу – ненулевая.
•vk.com/club152685050Один из главных| vkвыводов.com/id446425943из предыдущего рассмотрения – дискретность спектра локализованных состояний частицы, в классической физике соответствующей частице, совершающей финитное движение в потенциальной яме.
• Перейдем теперь к случаю E>U0 (при тех же остальных условиях задачи), соответствующему инфинитному движению частицы через область потенциальной ямы 2 в направлении из области 1 в область 3.
• Вид гамильтониана сохранится:
• Но из-за изменения знака разности (E–U0) уравнения Шредингера
ˆ = для областей теперь
H E
удобнее записать в виде:
• Введены обозначения:
•vk.com/club152685050Решение запишем| vk.com/id446425943в комплексной форме:
•С учетом временной части волновых функций, первые члены каждой суммы
представляют волну, бегущую в положительном направлении оси координат, а вторые – волну, бегущую в отрицательном направлении.
•Постоянные интегрирования A, B и C должны быть найдены из граничных условий.
•Четыре уравнения, позволяющие определить постоянные интегрирования, можно получить из условий «сшивки» волновых функций и их производных на границах областей.
•Для делокализованных состояний (соответствующих инфинитному движению частиц в классической модели) условие нормировки полной вероятности на 1 использовать нельзя. Нормировка должна быть определена специальным
образом – например, заданием «амплитуды падающей волны» A1.
•В общем случае, нельзя использовать и условие обращения волновой функции в 0 на бесконечности. Однако, если рассматривать волну (частицу), бегущую
из – в положительном направлении оси координат, можно положить, что |
|
отраженная волна в области 3 будет отсутствовать: B2=0. |
17 |
