• Рассмотрим конкретный случай электрона в статическом потенциальном поле
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
U (r ) , например, в атоме. Нерелятивистская квантовая (волновая) механика позволяет электрону находиться не только в состояниях с определенными значениями энергии Ek, описываемых волновыми функциями k , но и в
«смешанных» состояниях с волновой функцией:
(r ,t) = ck k (r ,t)
k
(Уравнения Шредингера линейны, поэтому линейная комбинация их решений также является решением.)
• Поскольку набор собственных функций гамильтониана (как и других операторов) обладает свойством полноты, в приведенном виде может быть представлена любая волновая функция.
• «Смешанные» состояния отличаются от стационарных тем, что значение энергии для них недетерминировано, а плотность вероятности в каждой точке непостоянна (именно в этом смысле они нестационарны).
• Нерелятивистская квантовая (волновая) механика позволяет электрону находиться в любых стационарных и нестационарных состояниях сколь угодно долгое время. В действительности (как известно из опыта), электрон рано или поздно оказывается в основном состоянии – с минимальной (а значит, с
определенной) энергией. Это состояние стационарно.
9
•vk.com/club152685050Явление перехода| vk.com/id446425943квантовых систем в основное состояние не описывается нерелятивистской квантовой механикой. Оно описывается более общей теорией – квантовой электродинамикой, учитывающей квантовый характер электромагнитного излучения (вместо учета электромагнитного поля в виде статического потенциального члена U (r )).
•В рамках квантовой электродинамики переход из стационарного состояния с определенной, более высокой энергией (возбужденного) в состояние с также определенной, но более низкой энергией (спонтанная релаксация) происходит в результате спонтанного излучения фотона с частотой, определяемой разницей этих энергий.
•Переход из смешанного состояния с неопределенной энергией в основное состояние с определенной энергией также происходит – но фотон при этом излучается с некоторой вероятностью. Эту вероятность задает величина соответствующего коэффициента в разложении волновой функции «смешанного» состояния в ряд по собственным функциям гамильтониана. Частота излученного фотона соответствует разности энергий стационарных состояний – как если бы электрон и изначально находился в одном из них. Возможно излучение фотонов разных частот, соответствующей переходам
между разными, но обязательно стационарными состояниями с определенными
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• Спонтанная релаксация является вероятностным процессом. Тем не менее, при отсутствии внешних воздействий при t→ микрообъект (в том числе, атом) с единичной вероятностью оказывается в основном стационарном состоянии.
• Взаимодействие атомов с внешними по отношению к ним объектами (поглощение и вынужденное испускание фотонов, атомные столкновения) зачастую происходят с передачей квантов энергии, в результате чего атомы оказываются в одном из стационарных состояний.
• Таким образом, несмотря на то, что микрообъекты, согласно положениям нерелятивистской квантовой механики, могут пребывать в «смешанных» состояниях с неопределенной энергией, их взаимодействие с окружением всегда выявляет спектр энергий «чистых» стационарных состояний, то есть, спектр собственных значений гамильтониана.
• Вследствие этого, решение квантовомеханических задач зачастую (по крайней мере, на начальном этапе) состоит именно в определении собственных значений оператора Гамильтона.
vk6..7com/club152685050. Стационарные| vk.com/id446425943состояния частицы в одномерной потенциальной яме
По книге: Фаддeев М.А., Чупрунов Е.В. Лекции по атомной физике (2008, Физматлит).
В качестве показательного примера рассчитаем собственные значения и собственные функции простейшего гамильтониана.
То есть, определим энергетический спектр простейшей квантовомеханической системы и найдем решения стационарного уравнения Шредингера
ˆ =
H (r ) E (r )
для простейших условий.
•Начнем с одномерной задачи о частице «в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном».
•Пусть для микрообъекта массы m зависимость потенциальной энергии от единственной координаты имеет вид:
•vk.com/club152685050Классический аналог| vk.com/id446425943– задача о движении
частицы между вертикальными жесткими стенками при x=0 и x=a. Для нее разрешены любые значения энергии частицы. Время нахождения частицы вблизи любой точки ее траектории одинаково (модуль скорости постоянен).
•В волновой механике говорят не о движении, а о состоянии микрообъекта.
•Гамильтониан для заданной потенциальной функции U(х) «внутри ямы» (при
0<x<a) имеет вид:
•Одномерное стационарное уравнение Шредингера
ˆ =
H (x) E (x)
с указанным гамильтонианом можно привести к виду:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Действительные решения этого уравнения можно представить в форме:
где A и B – постоянные. Введено обозначение
•В областях x<0 и x>a волновая функция должна обращаться в 0, поскольку попадание частицы в эти области потребовало бы совершения над ней бесконечной работы. Из свойства непрерывности волновой функции получаем граничные условия:
•Первое из этих граничных условий задает B=0, а второе приводит к соотношению:
•Следовательно, величина k может принимать лишь дискретные значения
•Значение n=0 отброшено, поскольку оно задает волновую функцию (x)=0 , которой соответствует нулевая вероятность найти частицу где-либо.
vk• .com/club152685050Дискретным значениям| vk.com/id446425943k соответствуют дискретные значения энергии:
Это и есть собственные значения гамильтониана.
•Каждому значению энергии соответствует собственная волновая функция:
•Коэффициент A находится из условия нормировки вероятности:
•Итого: стационарные состояния микрообъекта в бесконечно глубокой потенциальной яме с плоским дном описываются волновыми функциями
•Целое число n, нумерующее дискретные состояния «частицы», называют квантовым числом.
•В рассмотренном случае энергия состояния зависит от квантового числа квадратично.
vk• .com/club152685050Полученный результат| vk.com/id446425943соответствует общему свойству квантовых систем – финитному «движению» (ограниченной области локализации волновой функции) соответствует дискретный спектр стационарных состояний и соответствующих значений энергии. В классической физике спектр разрешенных значений энергии частицы в потенциальной яме непрерывен.
•Полные волновые функции стационарных состояний можно получить умножением координатной части (x) на экспоненциальные временные зависимости:
•Математически они представляют собой стоячие волны, аналогичные фигурировавшим при выводе формулы Рэлея-Джинса (там они были
трехмерными). Дискретная величина kn имеет смысл волнового числа.
Рассмотрим подробнее конкретные состояния.
•Начнем с состояния, которое могло бы соответствовать n=0. Его несуществование означает, что квантовая частица в потенциальной яме не
может иметь нулевую (соответствующую потенциальной энергии дна ямы) |
|
энергию. Классическая частица могла бы «покоиться на дне ямы». Для |
|
квантовой это запрещено. |
5 |
|
•vkСтационарному.com/club152685050 |состояниюvk.com/id446425943с наименьшей
энергией («основному состоянию»)
соответствует квантовое число n=1. Для него:
эту величину можно назвать энергией «нулевых» (минимальных) колебаний частицы в потенциальной яме – но слова о «колебаниях частицы» здесь нужно понимать фигурально.
•Меньше ширина потенциальной ямы a
меньше резонансная длина волны 2 /k
больше энергия состояния E1 и др.
•Волновая функция основного состояния:
соответствует плотности вероятности обнаружения частицы при разных x:
•Эта плотность максимальна вблизи центра ямы х=a/2. В классическом случае вероятность обнаружить частицу была бы равномерно распределена в 0<x<a. 6
•vkЭнергия.com/club152685050первого| vkвозбужденного.com/id446425943
состояния с n=2 превышает энергию основного состояния в 4 раза:
•Волновая функция
определяет плотность вероятности
•У этой функции уже два максимума,
причем центру ямы x=a/2 соответствует нулевая плотность вероятности нахождения частицы.
• Таким образом, и в первом возбужденном состоянии частица в яме в некоторой степени локализована. Причем иначе, чем в основном состоянии.
• Данную закономерность можно подтвердить и на примере других возбужденных состояний. На рисунке представлен случай n=3.
• Этот вывод важен, он пригодится при рассмотрении состояний атомов.
7
