Атомная (прикладная) физика

• vk.com/club152685050У орбитального и| vkмагнитного.com/id446425943квантовых чисел обнаруживается и еще один, дополнительный смысл.

Оказывается, что оператор Гамильтона для электрона в кулоновском поле

коммутирует с операторами проекции момента импульса		и квадрата момента
импульса	. Эти операторы имеют общие собственные функции.
Волновые функции в виде сферических гармоник		(при любой радиальной
части) являются собственными функциями операторов		и	.

Их собственные значения определяются квантовыми числами m и l .

•Собственные значения проекции момента количества движения определяются магнитным квантовым числом

Название магнитного квантового числа связано с тем, что оно определяет и проекцию орбитального магнитного момента.

•Квантование квадрата (а следовательно, и модуля) момента импульса происходит по правилу:

•Нетрудно видеть, что условие m l соответствует естественному требованию:

модуль проекции момента импульса не должен превосходить модуль самого
момента импульса.	9

• vk.com/club152685050Таким образом, |угловаяvk.com/id446425943часть волновой функции электрона в атоме водорода

определена. Она задается сферическими гармониками.

Уравнение на собственные значения гамильтониана для кулоновского потенциала позволяет определить и радиальную часть. Она зависит от двух квантовых чисел (появляющихся в связи с требованием ограниченности функции) и имеет вид:

.

Здесь Cnl – нормировочный коэффициент, определяемый из условия равенства единице интеграла от плотности вероятности по всему пространству. Он равен:

– «обезразмеренная» радиальная координата:

Здесь a0 – комбинация мировых констант, известная как «боровский радиус»:

	a0	=	4	0	2	= 0.529177...	Å.
			e2 m

В модели Бора он равен радиусу электронной орбиты для основного состояния.

10

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

• В приведенной формуле

– специальные функции, называемые

«присоединенными полиномами Лагерра».

Для справки (как и многие формулы, приведенные ранее):

k

d k

x

d

−x

n

Qn

(x) =

e

(e

x

)

dx

k

dx

n

Несмотря на сложную запись в общем виде, полиномы низших порядков не очень сложны.

•При решении уравнения для радиальной части волновой функции оказывается, что квантовое число l может принимать лишь значения

•Графики, характеризующие радиальные функции Rnl (r) для нескольких комбинаций квантовых чисел (буква соответствует значению l) приводится на следующем слайде.

11

Общиеvk.com/club152685050закономерности| vk.com/id446425943:

-большая часть плотности вероятности сосредоточена в области размером порядка

нескольких a0.

- dw/dr (вероятность обнаружить электрон вблизи данного r) стремится к 0 при r→0.

-наиболее вероятное значение радиуса растет с увеличение главного

волнового числа n;

-при фиксированном n оно несколько уменьшается с ростом орбитального

квантового числа l .

a0 .

12

• vk.com/club152685050Таким образом, |вvkобщем.com/id446425943виде собственные функции гамильтониана, описывающие волновые функции стационарных состояний атома водорода с квантовыми числами (n, l, m), задаются несложной, но достаточно громоздкой формулой:

•Собственные значения гамильтониана, соответствующие энергиям стационарных состояний, задаются формулой:

	En	= −	me4					1
			(4	0	)2	2 2		n2

•Они совпадают с энергиями состояний, полученными в модели БораЗоммерфельда. Боровские значения подтверждались данными экспериментов – как известных к моменту создания теории, так и полученных позднее. Следовательно, и модель Шредингера в этой части можно считать экспериментально подтвержденной.

•Энергии состояний зависят только от главного квантового числа n. Состояния,

различающиеся лишь значениями квантовых чисел l и m, вырождены.	13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943	− E / E
• Спектр энергий стационарных состояний		1
часто изображают совместно с графиком				r
потенциальной функции, на качественном
уровне объясняя расширение области
локализации электрона в состояниях с
большей энергией. → → →
Итак, согласно теории Шредингера:		U (r) = −	e2
			4 0 r
• Стационарные состояния атома водорода
характеризуются значениями трех квантовых
чисел (n, l, m). Каждому набору чисел
соответствует своя волновая функция nlm .
• Главное квантовое число n принимает значения		n = 1, 2, 3 … .

Оно (и только оно) определяет энергию состояния.

• Орбитальное квантовое число l принимает значения

Оно определяет значение модуля момента количества движения

• Магнитное квантовое число m принимает значения

•Оно задает значение определенной проекции момента количества движения

14

• vk.com/club152685050Рассчитаем степень| vk.com/id446425943вырождения состояний с главным квантовым числом n – то есть, число состояний, различающихся квантовыми числами l и m.

При заданном l , магнитное квантовое число принимает (2l+1) различных значений:

Само орбитальное квантовое число при заданном n принимает n значений:

Полное число состояний с заданным n вычисляется по формуле

(Выражение можно рассматривать как сумму арифметической прогрессии из n членов, среднее слагаемое (полусумма первого и последнего) равна n.)

•Таким образом, степень вырождения состояния с энергией En равна n2.

•(В следующей лекции будет показано, что в действительности она вдвое выше из-за наличия

дополнительного квантового числа (спина), не учитываемого теорией Шредингера.)

•Основное состояние атома водорода в рамках данной теории является невырожденным. Ему соответствует набор квантовых чисел n=1, l=0, m=0.

Соответствующее обозначение – «1s».

•Энергия основного состояния – та же, что и в модели Бора:

	E1	= −	me4				−13.6 эВ
			(4	0	)2	2 2
							15

• Минимальная энергия, требующаяся для перевода электрона из основного

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

состояния в свободное Ei= –E1 13.6 эВ называется энергией ионизации атома водорода.

•Волновая функция (пространственная часть) для основного состояния:

100 (r ) =	1						r
					exp	−
			3
			a0				a0

• Угловое распределение плотности вероятности – сферически симметричное (однородное). Радиальное распределение представлено на графике:

	• Наиболее вероятное значение радиуса	dw/dr
	для этого распределения равно a0,
	среднее значение равно 1.5a0.

•В модели Бора-Зоммерфельда электрон атома в любом состоянии обладал ненулевым моментом импульса – иначе его движение по орбите вокруг ядра невозможно. Круговым орбитам (симметричным) орбитам соответствовал

наибольший момент из орбит с данным n.

r/a0

•В модели Шредингера основному состоянию и иным состояниям с l=0 и сферически

симметричными волновыми функциями соответствует нулевой момент импульса
электрона (и, кстати, нулевой орбитальным магнитный момент).	16

• vk.com/club152685050В классической физике| vk.com/id446425943орбиты движения электрона вокруг ядра с нулевым моментом импульса невозможны. Нулевой момент импульса означает либо нулевой импульс, либо осцилляции электрона с нулевым «прицельным параметром», «сквозь» ядро. В волновой механике такое препятствие отсутствует, поскольку описываемое состояние электрона – стационарное, оно не описывает его движения. Электрон просто частично делокализован.

•Можно оценить неопределенность координаты электрона x для атома водорода в

основном состоянии из соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Определим неопределенность проекции импульса как px = 2mEi – поскольку мы знаем, что электрон не свободен. Получим по порядку величины:

	x ~				~ 10−10 м 2a
						0
			2mEi

То есть, неопределенность координаты порядка размера атома.

•В неосновных, возбужденных состояниях атома водорода средние значения радиальной координаты увеличиваются, а радиальные распределения плотности вероятности могут становиться неоднородными – сферическая симметрия утрачивается, остается лишь осевая.

17

vkОбщий.com/club152685050вывод: | vk.com/id446425943

•Результаты применения теории волновой механики Шредингера к описанию атома водорода, как и в случае теории Бора-Зоммерфельда, подтвердили ее соответствие экспериментальным данным.

•В то же время, преимуществом шредингеровской квантовой механики является ее способность корректно описывать и значительно более сложные системы микрообъектов – в частности (но отнюдь не только), многоэлектронные атомы.

•В связи с этим, область применения шредингеровской квантовой механики в настоящее время весьма широка, тогда как боровская теория («старая квантовая механика») сохраняет лишь историческое значение.

18