- •Оглавление
- •2. Таблица значений функции 44
- •3. Таблица значений функции 45
- •Предисловие.
- •Введение (справочный материал к контрольным заданиям).
- •Геометрическое определение вероятности.
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •Контрольная работа №3.
- •Решения задач нулевых вариантов. Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •Контрольная работа №3.
Контрольная работа №2.
Задача №7. Контрольный тест содержит 10 вопросов, каждый из которых требует выбор правильного ответа из четырех данных, один из которых, правильный, а остальные неправильные. Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, знающий 3 вопроса. Найти вероятность того, что тестируемый даст наиболее вероятное число правильных ответов.
Решение.
Пусть - наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, отвечая наудачу на 7 вопросов теста, которых он не знает. Тогда общее число наиболее вероятного числа правильных ответов будет . Итак, найдем :
- целое, следовательно, или . Поэтому или . Это означает, что и искомая вероятность равна:
.
Ответ: 4 или 5; .
Задача №8. Стрелок производит 4 выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,4; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Найти вероятности следующих событий:
А – стрелок попадет в мишень 2 раза;
В – стрелок попадет в мишень хотя бы 1 раз;
С – стрелок ни разу не попадет в мишень.
Решение.
Вероятность промаха при первом выстреле 0,6; при втором – 0,7; при третьем – 0,8 и при четвертом выстреле 0,9.
Составим производящую функцию (многочлен)
.
Если раскроим скобки, сделаем приведение подобных членов и запишем многочлен по возрастающим степеням, то вероятность попаданий будет равна коэффициенту при . Итак:
.
Ответ:
Задача №9. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что: 1 очко выпадает 2 раза, 2 очка – 1 раз и 3 очка – 1 раз.
Решение.
По полиномиальной формуле, обобщающей формулу Бернулли, имеем:
.
Ответ: .
Задача №10. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого станка в течение смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают:
82 станка;
От 80 до 85 станков.
Решение.
Так как , то в пункте:
применим локальную приближенную формулу Муавра-Лапласа и в пункте
интегральную приближенную формулу Муавра-Лапласа.
, где
Итак: , где .
Находим:
- найдено по таблице для (Приложение 1).
, где . Находим .
Значения находим по таблице для функции Лапласа
(Приложение 2).
Итак: и получаем
.
Ответ: а)
б) .
Задача №11. На торговую базу завод отправил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность повреждения при транспортировке для каждой бутылки равна 0,002. Найти вероятность повреждения:
;
от до ;
более 3-х бутылок.
Решение.
, поэтому воспользуемся формулой Пуассона для редких событий:
, где .
а) . Находим по таблице для функции при . Находим .
б) .
в) .
Ответ: а) 0,18045;
б) 0,54134;
в) 0,14289.
Задача №12. Найти закон распределения случайной величины - числа изделий высшего сорта среди 5 наудачу извлеченных из коробки изделий, если в коробке 8 изделий, среди которых 3 изделия высшего сорта. Найти .
Решение.
Ясно, что может принимать значения 0,1,2,3 с вероятностями:
;
;
.
Закон распределения :
-
0
1
2
3
.
;
.
Ответ: .
Задача №13. Мишень разделена на три зоны: I, II, III. За попадание в зону I дается 1 очко, за попадание в зону II – 2 очка и за попадание в зону III – 3 очка. Вероятности попадания в зоны I, II, III соответственно равны . Найти закон распределения случайной величины , равной числу заработанных очков стрелком при двух независимых выстрелах по мишени. Найти .
Решение.
Пусть - число очков, заработанных стрелком при первом выстреле; - при втором выстреле. Тогда , так как независимы.
Законы распределения задаются таблицами:
-
1
2
3
1
2
3
0,3
0,2
0,5
0,3
0,2
0,5
Имеем:
|
: |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
Закон распределения :
-
2
3
4
5
6
0,09
0,12
0,34
0,2
0,25
.
Ответ: .
Вычисления можно было произвести, исходя из закона распределения .