Решения задач нулевых вариантов. Контрольная работа №1.
Задача
№1.
Совместные случайные события
могут наступить или не наступить в
некотором опыте. Составить таблицу
наступлений и ненаступлений события
в зависимости от наступления и
ненаступления
.
Построить диаграмму Эйлера и заштриховать
.
Решение.
1. Построим таблицу, обозначая наступление события единицей «1» и ненаступление нулем «0».
A |
B |
C |
|
BC |
S= +BC |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2. Изобразим пространство всех элементарных случаев (событий) в виде прямоугольника на плоскости, события - кругами внутри прямоугольника, причем все три овала имеют общую часть, т.к. совместные события (рис.2).
-
внешность круга А.
-
общая часть
.
- объединение этих областей.
Ω
Рис.2
Задача
№2.
Наудачу выбрано двузначное число
.
Найти вероятности событий:
.
Решение.
По классическому определению:
где
- число элементарных исходов опыта
(выбор наудачу двузначного числа),
- соответственно: число благоприятных
для
исходов опыта.
Очевидно
.
.
Следовательно,
.
.
;
заметим, что для каждого
сравнение
имеет два решения, т.к.
.
Наконец, для
это сравнение имеет 5 решений
.
Таким образом,
.
Ответ:
Задача №3. В студенческой стройбригаде 10 человек, из которых 4 первокурсника. Из бригады наудачу взяли 4 человека. Найти вероятность того, что среди взятых 1 первокурсник.
Решение.
Пусть
- событие – среди взятых 4-х человек один
первокурсник (остальные 3 – не
первокурсники). По классическому
определению
,
где
- число всех элементарных исходов опыта
(из 10 человек наудачу взяли 4 человека).
Тогда
.
Число благоприятных для исходов равно
.
;
Ответ:
.
Задача №4. В промежутке между 12 и 22 часами данных суток к причалу независимо друг от друга должны прибыть для разгрузки два танкера. Один из них разгружается в течение 2-х часов, а другой в течение 8 часов. Найти вероятность того, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала другим.
Решение.
Пусть - событие, вероятность которого надо найти. Воспользуемся геометрическим определением вероятности, т.к. в этой задаче классическое определение неприменимо.
Выбрав
за начало отсчета времени 12 часов,
обозначим через
- время прибытия танкера, которому
требуется для разгрузки 2 часа и через
- время прибытия танкера, которому для
разгрузки требуется 8 часов. Ясно, что
и
.
Точка
может оказаться в любом месте квадрата
(рис.3).
Рис.3
Событие произойдет только в том случае, когда выполняется
Решив
графически эти системы неравенств,
получим заштрихованную часть квадрата.
равна отношению площади заштрихованной
части к площади квадрата.
.
Ответ:
.
Задача
№5.
Рабочий обслуживает три станка, работающие
независимо друг от друга. Вероятность
того, что в течение смены
-й
станок потребует переналадку равна
.
Найти вероятности следующих событий:
А – 2 станка потребуют переналадку;
В – ни один станок не потребует переналадки;
С – хотя бы один станок потребует переналадку;
D – не более двух станков потребуют переналадку.
Решение.
Введем
обозначения:
- первый станок потребует переналадку,
- второй потребует переналадку,
- третий потребует переналадку. Тогда,
согласно определениям операций над
событиями, имеем:
.
Ответ:
Задача
№6.
В партии деталей
получены от завода №1, а остальные от
завода №2. Из партии наудачу взяли
деталь. Найти вероятность того, что
взятая деталь стандартная, если брак
на заводе №1 составляет –
,
на заводе №2 -
.
Взятая деталь оказалась с браком. Найти
вероятность того, что эта деталь получена
от завода №2.
Решение.
Введем
обозначения:
- взятая деталь стандартная,
- деталь получена от завода №1,
- деталь получена от завода №2. По условию:
По формуле полной вероятности:
По формуле Байеса:
Ответ:
