Тема: «Побудова парної лінійної економетричної моделі» Лабораторна робота № 1 Побудова лінійних економетричних моделей продуктивності праці

Згідно з вибіркою статистичних даних (дод. 1) потрібно побудувати лінійну економетричну модель залежності продуктивності праці (Y) від втрат робочого часу (Х₁). Необхідно:

1. Визначити параметри моделі.

2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.

3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Розв’язання.

1. Економічний зміст змінних:

Y – продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ – рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁  X + u,

де а₀, а₁ – параметри моделі; u – залишки, інші невраховані чинники.

3. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

Спосте- реження	Функція	Перший аргумент
	Y	Х
1	13,1	8,3
2	13,4	8
3	13	8,7
4	12,8	8,1
5	14,5	7,5
6	14,8	6,5
7	15,1	6
8	15,4	5,9
9	15,9	5,4
10	16,3	5,1
11	17,4	4,3
12	18,1	2,1
13	19	2
14	19,3	1,5
15	19,3	1,5

4. Для визначення параметрів моделі а₀ та а₁ складаємо систему нормальних рівнянь:

(1.1)

де n – кількість спостережень, n = 15.

Всі суми, що входять у систему, обраховуються на основі похідних статистичних даних (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

Спосте- реження	Y	X	X^2	Y Х
	13,1	8,3	68,89	108,73	13,24	0,01866	7,43471
	13,4	8	64,00	107,20	13,50	0,01080	5,88871
	13	8,7	75,69	113,10	12,88	0,01435	7,99004
	12,8	8,1	65,61	103,68	13,41	0,37802	9,16071
	14,5	7,5	56,25	108,75	13,95	0,30308	1,76004
	14,8	6,5	42,25	96,20	14,84	0,00164	1,05404
	15,1	6	36,00	90,60	15,29	0,03463	0,52804
	15,4	5,9	34,81	90,86	15,38	0,00062	0,18204
	15,9	5,4	29,16	85,86	15,82	0,00628	0,00538
	16,3	5,1	26,01	83,13	16,09	0,04492	0,22404
	17,4	4,3	18,49	74,82	16,80	0,35892	2,47538
	18,1	2,1	4,41	38,01	18,76	0,43727	5,16804
	19	2	4,00	38,00	18,85	0,02239	10,07004
	19,3	1,5	2,25	28,95	19,30	0,00002	12,06404
	19,3	1,5	2,25	28,95	19,30	0,00002	12,06404
	237,4	80,9	530,07	1196,84	237,40	1,63162	76,06933

– середнє значення Y; ; – розрахункове значення Y для моделі.

5. Якщо підставити в систему рівнянь (1.1) значення n, система рівнянь буде мати такий вигляд:

(1.2)

Розв’яжемо цю систему рівнянь відносно невідомих параметрів моделі та .

;

;

= ­ – 0,89;

.

В результаті розв’язання системи рівнянь отримуємо значення: = 20,63, = ­ – 0,89.

Отже, економетрична модель продуктивності праці (рівняння регресії) матиме вигляд:

= 20,63 – 0,89  Х₁ .

6. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції для даної моделі.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

;

.

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

.

.

Знаходимо коефіцієнт кореляції:

.

Коефіцієнт кореляції беремо зі знаком „мінус” оскільки такий знак має коефіцієнт регресії в моделі.

Рівень коефіцієнта кореляції r = –0,9879 свідчить про тісний обернений зв’язок між продуктивністю праці та втратами робочого часу на підприємстві.

Діапазони рівня тісноти зв’язку між Y та Х

Значення коефіцієнта кореляції	0	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99	1
Висновок про силу кореляційного зв’язку	відсутній	слабкий	помірний	середній	високий	досить високий	близький до функціо-нального

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,976 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 97,6 % визначається варіацією рівня втрат робочого часу і лише 2,4 % змін Y припадає на невраховані чинники.

7. Визначимо коефіцієнт еластичності моделі

.

.

Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна дійти висновку, що зі зменшенням втрат робочого часу на 1 % продуктивність праці може підвищитись на 0,3 %.

8. Проведемо розрахунки середньоквадратичної та відносної похибок моделі.

.

.

Рівень середньоквадратичної похибки означає, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункового його значення ( ) на 0,341386 тис.грн/чол.

Відносна похибка, %,

,

.

Для точних моделей рівень відносної похибки не перевищує 10 %.

9. Достовірність параметрів моделі оцінюється за допомогою F-критерію (критерію Фішера).

При моделюванні визначається розрахункове (F_розр) і табличне (F_табл) його значення, а потім вони порівнюються.

,

F_розр. = ­76,069 : 1,631 = 46,622.

Розрахункове значення перевищує табличне.

F_табл визначається за таблицею (дод. 7) для рівня надійності a і ступенів свободи відповідно: f₁ = (n – m – 1) та f₂ = (n – 1), де n і m – кількість відповідно числа спостережень і незалежних змінних.

При =0,95 та значеннях f₁ = 15 – 1 – 1= 13 і f₂ = 15 – 1 = 14 табличне значення F-критерію буде дорівнювати F_табл = 2,5.

Порівняльний аналіз F_табл та F_розр : 46,622  2,5.

Модель приймаємо – припускаємо наявність лінійного зв'язку.

Отже, згідно з обчисленими характеристиками (коефіцієнт детермінації, кореляції, критерій Фішера) можна зробити висновок, що модель є достовірною (присутність лінійного зв'язку) та відображає тісний зв’язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.

10. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові всіх фактичних точок Y_факт з таблиці похідних даних та розрахункових значень Y_розр для отриманої моделі.

11. Аналіз моделі.

Значення коефіцієнта кореляції свідчить про тісний кореляційний зв’язок між Y та X. Відносна похибка становить 2,157% і не перевищує 10%. Критерій Фішера розрахунковий перевищує значення табличного критерію Фішера. Отже, можна зробити висновок, що модель є достовірною та відображає тісний лінійний зв’язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.

12. Висновки.

Проаналізувавши економетричну модель, можна дійти висновку, що модель є достовірною і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку: при зменшенні втрат робочого часу на підприємстві на 1 тис. люд.-год. на рік можливе підвищення продуктивності праці на 0,89 тис.грн/чол., за умови незмінної дії інших чинників, не врахованих у моделі. Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна сказати, що зменшення на 1 % втрат робочого часу сприятиме підвищенню продуктивності праці на 0,3 %.